1977-福建卷-08 解-导数的乘积法则

本题导读

本题考查导数的乘积法则。

📌【题干】

Question

（1977年北京卷(理)）附加题 8. 求函数 $y = e^{- 2 x} sin (5 x + \frac{π}{4})$ 的导数.

🔍【思路分析】

破题导航

原函数是两个函数相乘： $y = u (x) \cdot v (x)$ ，其中 $u (x) = e^{- 2 x}$ ， $v (x) = sin (5 x + \frac{π}{4})$ ，用乘积法则 $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ 。

分别求 $u (x)$ 、 $v (x)$ 的导数，注意链式法则：

$u^{'} (x) = (e^{- 2 x})^{'} = e^{- 2 x} \cdot (- 2 x)^{'} = - 2 e^{- 2 x}$ 。

$v^{'} (x) = [sin (5 x + \frac{π}{4})]^{'} = cos (5 x + \frac{π}{4}) \cdot (5 x + \frac{π}{4})^{'} = 5 cos (5 x + \frac{π}{4})$ 。

代入并提取公因式 $e^{- 2 x}$ ，括号内为 $- 2 sin α + 5 cos α$ ；可用辅助角公式（两角和的正弦公式）合并成单一三角函数。

✅【答案】

Success

$y^{'} = e^{- 2 x} [5 cos (5 x + \frac{π}{4}) - 2 sin (5 x + \frac{π}{4})]$

✍【详细解析】

Abstract

由乘积法则 $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ ： $y^{'} = (e^{- 2 x})^{'} \cdot sin (5 x + \frac{π}{4}) + e^{- 2 x} \cdot [sin (5 x + \frac{π}{4})]^{'}$

分别求导：

指数部分： $(e^{- 2 x})^{'} = e^{- 2 x} \cdot (- 2) = - 2 e^{- 2 x}$

正弦部分： $[sin (5 x + \frac{π}{4})]^{'} = cos (5 x + \frac{π}{4}) \cdot 5 = 5 cos (5 x + \frac{π}{4})$

代入得： $y^{'} = - 2 e^{- 2 x} sin (5 x + \frac{π}{4}) + 5 e^{- 2 x} cos (5 x + \frac{π}{4})$

提取公因式 $e^{- 2 x}$ ： $y^{'} = e^{- 2 x} [5 cos (5 x + \frac{π}{4}) - 2 sin (5 x + \frac{π}{4})]$

(注：上式已可作为最终答案，也可用辅助角公式进一步合并成单一三角函数形式。)

令 $θ = 5 x + \frac{π}{4}$ ，则括号内为 $5 cos θ - 2 sin θ$ 。由辅助角公式 $A sin θ + B cos θ = A^{2} + B^{2} sin (θ + ϕ)$ ，有： $(- 2)^{2} + 5^{2} = 4 + 25 = 29$ 于是： $5 cos θ - 2 sin θ = 29 (\frac{5}{29} cos θ - \frac{2}{29} sin θ)$ 设锐角 $φ$ 满足 $sin φ = \frac{5}{29}$ 且 $cos φ = \frac{2}{29}$ （即 $tan φ = \frac{5}{2}$ ），用两角和的余弦公式合并： $5 cos θ - 2 sin θ = 29 (cos φ cos θ - sin φ sin θ) = 29 cos (θ + φ)$ 也可化为正弦形式 $29 sin (θ + φ + \frac{π}{2})$ 。

实际作答时，保留提取公因式后的形式即可： $y^{'} = e^{- 2 x} [5 cos (5 x + \frac{π}{4}) - 2 sin (5 x + \frac{π}{4})]$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：乘积法则、复合函数链式法则。

核心方法：乘积法则、链式法则。

避坑指南：

易错点（漏乘内层导数）：对 $sin (5 x + \frac{π}{4})$ 求导时，容易漏乘内层 $5 x + \frac{π}{4}$ 的导数 $5$ ，错误地写成 $cos (5 x + \frac{π}{4})$ 。

对 $e^{- 2 x}$ 求导时，前面要乘系数 $- 2$ 。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 本题为 1977 年北京卷（理）附加题，考查复合函数求导，属于导数计算的基础题。

结论推广: 形如 $y = e^{a x} sin (b x + c)$ 的函数，求导时先用乘积法则 $(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}$ ，再对 $e^{a x}$ 、 $sin (b x + c)$ 分别用链式法则，得 $y^{'} = a e^{a x} sin (b x + c) + b e^{a x} cos (b x + c)$ 。若需合并，可用辅助角公式 $A sin θ + B cos θ = A^{2} + B^{2} sin (θ + φ)$ （其中 $φ$ 由 $sin φ = \frac{B}{A ^{2} + B ^{2}}$ 、 $cos φ = \frac{A}{A ^{2} + B ^{2}}$ 确定）。本题 $a = - 2, b = 5, c = \frac{π}{4}$ ，代入即得上述结果。

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