1977-湖南-07 解-圆内接四边形求边

本题导读

本题考查圆内接四边形。核心在于 $\angle B=90^{\circ }$ 露出直径 $AC$，勾股与余弦定理双方程联立，或作双垂线构造矩形。

📌【题干】

Question

（1977年湖南卷） 已知圆内接四边形 $ABCD$ 中，$\angle A=60^{\circ }$，$\angle B=90^{\circ }$，$AB=2$，$CD=1$.求 $BC$ 和 $DA$.

🔍【思路分析】

破题导航

法一：$AC$ 为直径得 $\angle D=90^{\circ }$，$\angle C=120^{\circ }$；设 $BC=x$，$DA=y$，对角线 $AC$ 列勾股、对角线 $BD$ 列余弦。法二：作 $BE\perp AD$、$CF\perp BE$ 构造矩形解直角三角形。

✅【答案】

Success

$BC=2(\sqrt{3}-1)$，$DA=4-\sqrt{3}$

✍【详细解析】

Abstract

【法一】因为 $\angle B=90^{\circ }$，所以 $AC$ 是外接圆的直径，从而 $\angle D=90^{\circ }$，$\angle C=360^{\circ }-90^{\circ }-60^{\circ }-90^{\circ }=120^{\circ }$。设 $BC=x$，$DA=y$。由勾股定理（直径 $AC$）：$A{B}^2+B{C}^2=A{D}^2+D{C}^2$，即 $4+x^2=y^2+1$ ①。由余弦定理（对角线 $BD$）：$A{B}^2+A{D}^2-2AB\cdot AD\cos A=B{C}^2+C{D}^2-2BC\cdot CD\cos C$，即 $4+y^2-2y=x^2+1+x$ ②。联立①②解得 $x_1=2\sqrt{3}-2$，$y_1=4-\sqrt{3}$；$x_2=-(2\sqrt{3}+2)$（负值舍去）。故 $BC=2\sqrt{3}-2$，$DA=4-\sqrt{3}$。【法二】过 $B$ 作 $BE\perp AD$ 交 $AD$ 于 $E$，过 $C$ 作 $CF\perp BE$ 交 $BE$ 于 $F$，则 $CDEF$ 是矩形。在直角 $△ABE$ 中 $\angle ABE=30^{\circ }$，所以 $AE=\frac{1}{2}AB=1$，$BE=2\sin 60^{\circ }=\sqrt{3}$。在直角 $△BCF$ 中 $\angle CBF=60^{\circ }$，$BF=BE-FE=BE-CD=\sqrt{3}-1$，所以 $BC=\frac{BF}{\cos 60^{\circ }}=2(\sqrt{3}-1)$，$CF=BF\tan 60^{\circ }=3-\sqrt{3}$。因此 $AD=AE+ED=AE+CF=1+3-\sqrt{3}=4-\sqrt{3}$。答：$BC=2(\sqrt{3}-1)$，$AD=4-\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆内接四边形求边

核心方法：直径+双定理联立

避坑指南：$AC$ 是直径是枢纽；勾股列 $AC$、余弦列 $BD$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆内接四边形

结论推广：$BC=2(\sqrt{3}-1)$，$DA=4-\sqrt{3}$

方法推广：圆内接四边形对角互补，直角露直径

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2001-大纲文-19 解-圆内接四边形面积
• 1977-江西-15 填-圆内接正多边形