1977-湖南-06 解-正弦定理两解

本题导读

本题考查正弦定理解三角形。核心在于 $\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 得两解，两解都成立需分别求 $A$ 与 $a$。

📌【题干】

Question

（1977年湖南卷） 在 $△ABC$ 中，用 $a$，$b$，$c$ 依次表示 $\angle A$，$\angle B$，$\angle C$ 的对边，已知 $\angle B=45^{\circ }$，$b=10$，$c=5\sqrt{6}$，不查表求 $C$，$A$，$a$.

🔍【思路分析】

破题导航

正弦定理求 $\sin C$；$\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 得 $C=60^{\circ }$ 或 $120^{\circ }$；两情形分别用内角和与正弦定理求 $a$。

✅【答案】

Success

$\angle C=60^{\circ }$，$\angle A=75^{\circ }$，$a=5(\sqrt{3}+1)$；或 $\angle C=120^{\circ }$，$\angle A=15^{\circ }$，$a=5(\sqrt{3}-1)$

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理 $\sin C=\frac{c\sin B}{b}=\frac{5\sqrt{6}\sin 45^{\circ }}{10}=\frac{5\sqrt{6}\times \frac{\sqrt{2}}{2}}{10}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。因此 $\angle C=60^{\circ }$ 或 $\angle C=120^{\circ }$。当 $\angle C=60^{\circ }$ 时，$\angle A=180^{\circ }-45^{\circ }-60^{\circ }=75^{\circ }$，$a=\frac{b\sin A}{\sin B}=\frac{10\sin 75^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\frac{10\times \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=5(\sqrt{3}+1)$。当 $\angle C=120^{\circ }$ 时，$\angle A=180^{\circ }-165^{\circ }=15^{\circ }$，$a=\frac{10\sin 15^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=\frac{10\times \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=5(\sqrt{3}-1)$。答：$\angle C=60^{\circ }$，$\angle A=75^{\circ }$，$a=5(\sqrt{3}+1)$；或 $\angle C=120^{\circ }$，$\angle A=15^{\circ }$，$a=5(\sqrt{3}-1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦定理两解

核心方法：正弦定理两解讨论

避坑指南：$\sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 两解，$c>b$ 大边对大角两解均保留

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：解三角形

结论推广：$a=5(\sqrt{3}+1)$ 或 $5(\sqrt{3}-1)$

方法推广：边对角型：$\sin$ 值小于1且大边对大角时两解

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理
• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练 (Links)

• 1977-山东B-10 解-正弦定理航海测距
• 1999-上海文-04 填-三角形面积的两解