1977-湖南-05 解-等差内角四边形

本题导读

本题考查等差数列与四边形内角和。核心在于四角设为 $x,2x,3x,4x$ 一步到位。

📌【题干】

Question

（1977年湖南卷） 已知四边形 $ABCD$ 中，$\angle A$，$\angle B$，$\angle C$，$\angle D$ 成等差数列，且 $\angle C=3\angle A$，求 $\angle A$，$\angle B$，$\angle C$，$\angle D$ 的度数.

🔍【思路分析】

破题导航

设四角为 $x,x+d,x+2d,x+3d$；由 $\angle C=3\angle A$ 得 $d=x$；内角和 $360^{\circ }$ 解出 $x$。

✅【答案】

Success

$\angle A=36^{\circ }$，$\angle B=72^{\circ }$，$\angle C=108^{\circ }$，$\angle D=144^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

设 $\angle A,\angle B,\angle C,\angle D$ 的度数分别为 $x,x+d,x+2d,x+3d$（$d$ 为公差）。由 $\angle C=3\angle A$ 得 $x+2d=3x$，所以 $d=x$。因此四角分别为 $x,2x,3x,4x$。由内角和 $x+2x+3x+4x=360^{\circ }$ 得 $x=36^{\circ }$。所以 $\angle A=36^{\circ }$，$\angle B=72^{\circ }$，$\angle C=108^{\circ }$，$\angle D=144^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差内角四边形

核心方法：等差设元

避坑指南：$\angle C=3\angle A$ 给出 $d=x$，四角即 $x,2x,3x,4x$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差内角

结论推广：$36^{\circ },72^{\circ },108^{\circ },144^{\circ }$

方法推广：等差设元后公差由比例条件直接读出

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

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