1977-浙江-10 解-面积法证明

本题导读

本题考查面积法证明比例式。核心在于 $\frac{OD}{AD}=\frac{S_{△OBC}}{S_{△ABC}}$，三比相加等于面积并。

📌【题干】

Question

（1977年浙江卷） 点 $O$ 为 $△ABC$ 内任意一点，连接 $AO$ 并延长交 $BC$ 于点 $D$，连接 $BO$ 并延长交 $AC$ 于点 $E$，连接 $CO$ 并延长交 $AB$ 于点 $F$，则 $\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{BE}+\frac{OF}{CF}=1$.

🔍【思路分析】

破题导航

作高 $AK$、$OH$，由 $△AKD\sim △OHD$ 得 $\frac{OH}{AK}=\frac{OD}{AD}$，而 $\frac{OH}{AK}=\frac{S_{△OBC}}{S_{△ABC}}$；同理得另两比，三比相加。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

作 $△ABC$ 和 $△OBC$ 的高 $AK$ 和 $OH$。因此 Rt$△AKD\sim$Rt$△OHD$，$\frac{OH}{AK}=\frac{OD}{AD}$。所以 $\frac{S_{△OBC}}{S_{△ABC}}=\frac{\frac{1}{2}BC\cdot OH}{\frac{1}{2}BC\cdot AK}=\frac{OH}{AK}=\frac{OD}{AD}$。同理，有 $\frac{S_{△OAC}}{S_{△ABC}}=\frac{OE}{BE}$，$\frac{S_{△OAB}}{S_{△ABC}}=\frac{OF}{CF}$。所以 $\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{BE}+\frac{OF}{CF}=\frac{S_{△OBC}+S_{△OAC}+S_{△OAB}}{S_{△ABC}}=\frac{S_{△ABC}}{S_{△ABC}}=1$。即 $\frac{OD}{AD}+\frac{OE}{BE}+\frac{OF}{CF}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面积法证明

核心方法：面积比传递

避坑指南：$\frac{OD}{AD}=\frac{S_{△OBC}}{S_{△ABC}}$，三比相加 = 面积并

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：证明

结论推广：和恒为 $1$

方法推广：面积比传递

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)