1977-河南-11 解-棣莫佛定理证推广

本题导读

本题考查复数与棣莫佛定理（参考题，大学内容）。核心在于由 $x+x^{-1}=2\cos \theta$ 解出 $x=\cos \theta \pm i\sin \theta$，用棣莫佛定理展开 $x^n+x^{-n}$ 虚部相消。

📌【题干】

Question

（1977年河南卷） 已知 $x+x^{-1}=2\cos \theta$，求证 $x^n+x^{-n}=2\cos n\theta$.

🔍【思路分析】

破题导航

$x^2-2\cos \theta x+1=0$ 得 $x=\cos \theta \pm i\sin \theta$；$x^n+x^{-n}=(\cos \theta \pm i\sin \theta {)}^n+(\cos \theta \pm i\sin \theta {)}^{-n}$，棣莫佛展开虚部相消。

✅【答案】

Success

证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

由 $x+x^{-1}=2\cos \theta$ 可得 $x^2-2\cos \theta x+1=0$。所以 $x=\cos \theta \pm i\sin \theta$。因此 $x^n+x^{-n}=(\cos \theta \pm i\sin \theta {)}^n+(\cos \theta \pm i\sin \theta {)}^{-n}=\cos n\theta \pm i\sin n\theta +\cos (-n\theta )\pm i\sin (-n\theta )=\cos n\theta \pm i\sin n\theta +\cos n\theta \mp i\sin n\theta =2\cos n\theta$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：棣莫佛定理证推广

核心方法：复数开方+棣莫佛

避坑指南：$x=\cos \theta \pm i\sin \theta$，$x^n+x^{-n}=\cos n\theta \pm i\sin n\theta +\cos (-n\theta )\pm i\sin (-n\theta )$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：证明

结论推广：$x^n+x^{-n}=2\cos n\theta$

方法推广：棣莫佛定理

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 1986-上海文-33 解-棣莫佛定理的证明