1977-河南-10 解-电线杆运输等差问题

本题导读

本题考查等差数列应用。核心在于每趟比前一趟多走 $300$ 米（3 根 $\times$ 50 米 $\times$ 往返），末趟走 $2\times 2450$ 米，由等差中点公式列总程方程，与位置方程联立。

📌【题干】

Question

（1977年河南卷） 某电管所为实现农业现代化，加强电力网的建设，沿着一条通往农村的新公路栽电杆. 已知一辆汽车每次从电管所运 $3$ 根电线杆，相邻两根电线杆相距 $50$ 米，汽车往返的总行程是 $35.5$ 公里，最后一根电线杆与电管所相距 $2450$ 米. (1)第一根电线杆与电管所相距多少？

(2)共栽了多少根电线杆？

🔍【思路分析】

破题导航

设第一根距电管所 $x$ 米，共 $n$ 根、$n/3$ 趟；末根位置 $x+(n-1)\times 50=2450$；每趟路程成等差，首趟 $2(x+100)$、末趟 $2\times 2450$，中点公式求和 $=35500$；联立解出 $n=30$，$x=1000$。

✅【答案】

Success

(1)第一根电线杆与电管所相距 $1000$ 米(2)共栽了 $30$ 根电线杆

✍【详细解析】

Abstract

(1)设第一根电线杆离电管站为 $x$ 米，共运电线杆 $n$ 根，汽车共走了 $\frac{n}{3}$ 趟。第一趟走的路程是 $2(x+100)$ 米，以后每一趟都比前一趟多走 $300$ 米（每次运 $3$ 根、相邻相距 $50$ 米），最后一趟所走的路程是 $2\times 2450$ 米。因此，根据题意，得 末根位置：$2450=x+(n-1)\times 50$； 总行程（等差数列求和，首末项平均乘趟数）：$\frac{n}{3}\cdot \frac{2(x+100)+2\times 2450}{2}=35500$。 解这个方程组，得 $n_1=30$，$x_1=1000$；$n_2=71$，$x_2=-1050$（不合题意，舍去）。 第一根电线杆与电管所相距 $1000$ 米。 (2)共栽了 $30$ 根电线杆。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：电线杆运输等差问题

核心方法：等差数列求和

避坑指南：第 $m$ 趟比第一趟多 $300(m-1)$ 米，末趟 $2\times 2450$；中点公式求总程

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：应用

结论推广：第一根距 $1000$ 米；共栽 $30$ 根

方法推广：等差中点公式求总程

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 1997-全国卷文-22 解-运输成本的最值