1977-河北卷-10 解-定积分的几何应用

本题导读

本题考查用定积分计算椭圆所围成的面积。

📌【题干】

Question

（1977年河北卷） 利用定积分计算椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 所围成的面积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用对称性：

• 椭圆关于 $x$ 轴、$y$ 轴对称。
• 总面积 $S$ 等于第一象限面积 $S_1$ 的 4 倍。

2. 解出第一象限的函数：$y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$。

3. 建立定积分：$S_1={\int }_0^a\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\text{d}x$。

4. 三角换元：令 $x=a\sin t$，换积分限，用二倍角公式降幂积分。

✅【答案】

Success

$\pi ab$

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：利用对称性并解出函数 由椭圆关于坐标轴对称，总面积 $S$ 是第一象限面积 $S_1$ 的 4 倍。

第一象限中 $x\in [0,a]$，$y\ge 0$，由方程： $\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{x^2}{a^2}=\frac{a^2-x^2}{a^2}⟹y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$

总面积： $S=4S_1=4{\int }_0^a\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\text{d}x=\frac{4b}{a}{\int }_0^a\sqrt{a^2-x^2}\text{d}x$

• 第二步：三角换元 令 $x=a\sin t\left(t\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]\right)$，则： $\text{d}x=\text{d}(a\sin t)=a\cos t\text{d}t$

换积分限：

• $x=0$ 时，$a\sin t=0$，$t=0$；
• $x=a$ 时，$a\sin t=a$，$\sin t=1$，$t=\frac{\pi }{2}$。

又 $\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-a^2{\sin }^{2}t}=a\cos t$，代入： $S=\frac{4b}{a}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(a\cos t)\cdot (a\cos t\text{d}t)$ $S=\frac{4b}{a}\cdot a^2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}t\text{d}t=4ab{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}t\text{d}t$

• 第三步：用降幂公式积分 由 ${\cos }^{2}t=\frac{1+\cos 2t}{2}$： $S=4ab{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\frac{1+\cos 2t}{2}\text{d}t=2ab{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(1+\cos 2t)\text{d}t$

由牛顿-莱布尼茨公式： $S=2ab{\left[t+\frac{1}{2}\sin 2t\right]}_0^{\frac{\pi }{2}}$ $S=2ab\left[\left(\frac{\pi }{2}+\frac{1}{2}\sin \left(2\times \frac{\pi }{2}\right)\right)-\left(0+\frac{1}{2}\sin 0\right)\right]$ 因 $\sin \pi =0$ 且 $\sin 0=0$： $S=2ab\left[\frac{\pi }{2}+0-0\right]=2ab\times \frac{\pi }{2}=\pi ab$

所以，椭圆所围成的总面积为： $\pi ab$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：定积分的几何应用、三角换元、降幂公式积分。
2. 核心方法：四分对称法、三角换元法。
3. 避坑指南：

• 换元后忘变限：定积分换元须同时换积分限，不能算完原函数后仍代入原上限 $a$。

• 开方取正：$\sqrt{a^2{\cos }^{2}t}=|a\cos t|$，因 $t\in [0,\frac{\pi }{2}]$，$\cos t\ge 0$，可写成 $a\cos t$。若在其他象限，需注意正负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1977 年河北卷第 10 题，考查定积分求椭圆面积。

2. 结论推广：从仿射变换看，圆 $x^2+y^2=a^2$ 的面积为 $\pi a^2$，把 $y$ 方向压缩为原来的 $\frac{b}{a}$ 倍，面积变为 $\pi a^2\times \frac{b}{a}=\pi ab$。更一般地，对 ${\left(\frac{x}{a}\right)}^n+{\left(\frac{y}{b}\right)}^n=1$（$n>0$），其面积为 $S=\frac{4ab}{n}\cdot \frac{{\Gamma }^2\left(\frac{1}{n}\right)}{\Gamma \left(\frac{2}{n}\right)}$；当 $n=2$ 时即得 $\pi ab$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.20 定积分与微积分基本定理

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