1977-河北卷-06 解-棱台的体积公式

本题导读

本题考查棱台的体积公式与表面积计算。

📌【题干】

Question

（1977年河北卷） 工人师傅要用铁皮做一个上大下小的正四棱台形容器 (上面开口)，使其容积为 208 立方分米，高为 4 分米，上口边长与下底面边长的比为 $5:2$，做这样的容器需要多少平方米的铁皮？ (不计容器的厚度和加工余量，不要求写出已知、求解，直接求解并画图即可)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 用体积公式求底面边长：

• 正四棱台体积 $V=\frac{1}{3}h(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2})$，$S_1,S_2$ 为上下底面积。
• 设下底边长为 $2x$，上底边长为 $5x$。$S_1=25x^2$，$S_2=4x^2$。
• 代入 $V=208$、$h=4$，解出 $x$。

2. 由截面求斜高：

• 容器上面开口，铁皮面积 = 下底面积 + 四个侧面等腰梯形面积。
• 斜高 $h^{\prime }$ 由 $(h^{\prime }{)}^2=h^2+{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2$ 求得。

3. 算表面积：下底面积加四个侧面梯形面积。

✅【答案】

Success

答：做这样一个容器需要 $1.56$ 平方米的铁皮

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：建立体积方程求底面边长 设下底面正方形边长为 $2x\text{ (dm)}$，上底面边长为 $5x\text{ (dm)}$。 得：
• 上底面积： $S_1=(5x{)}^2=25x^2$
• 下底面积： $S_2=(2x{)}^2=4x^2$ 由正棱台体积公式： $V=\frac{1}{3}h\left(S_1+S_2+\sqrt{S_1{S}_2}\right)$ 代入 $V=208{\text{ dm}}^3$，$h=4\text{ dm}$： $208=\frac{1}{3}\times 4\times \left(25x^2+4x^2+\sqrt{25x^2\times 4x^2}\right)$ 两边除以 4 再乘以 3： $156=29x^2+10x^2⟹39x^2=156$ 解得： $x^2=4⟹x=2(\text{舍去负值})$ 于是：
• 下底面边长： $b=2x=4\text{ dm}$，下底面积 $S_2=4^2=16{\text{ m}}^2$
• 上底面边长： $a=5x=10\text{ dm}$
• 第二步：由截面求斜高 $h^{\prime }$ 侧面等腰梯形的高（斜高）$h^{\prime }$ 满足： $(h^{\prime }{)}^2=h^2+{\left(\frac{a-b}{2}\right)}^2$ 代入 $h=4\text{ dm},a=10\text{ dm},b=4\text{ dm}$： $(h^{\prime }{)}^2=4^2+{\left(\frac{10-4}{2}\right)}^2=16+3^2=16+9=25$ 得： $h^{\prime }=5\text{ dm}$
• 第三步：求铁皮总面积 容器上面开口，铁皮面积由下底和一个侧面梯形组成： $S=S_{\text{底}}+4\times S_{\text{侧梯}}$ $S=b^2+4\times \left[\frac{1}{2}(a+b)\cdot h^{\prime }\right]$ 代入： $S=16+4\times \left[\frac{1}{2}(10+4)\times 5\right]$ $S=16+2\times 14\times 5=16+140=156{\text{ m}}^2$ 答：做这样一个容器需要 $1.56$ 平方米的铁皮。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正四棱台体积公式、由高和底面边长差求斜高。
2. 核心方法：截面法、比例设元法。
3. 避坑指南：

• 开口容器面积：容器”上面开口”，不能加上底面积，只算侧面积加下底面积。
• 用斜高 $h^{\prime }$ 不用高 $h$：侧面梯形的高是斜高 $h^{\prime }$，不是容器的垂直高 $h=4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1977 年河北卷第 6 题，考查棱台体积与表面积的工业应用。
2. 结论推广：设开口正四棱台高为 $h$，上下底边长之比为 $m:n$（$m>n$），容积为 $V$，下底边长为 $b$，则 $b=\sqrt{\frac{3V{n}^2}{h(m^2+mn+n^2)}}$，铁皮面积 $S=b^2\cdot \left[1+\frac{2(m+n)}{n}\cdot \sqrt{\frac{h^2}{b^2}+\frac{(m-n{)}^2}{4n^2}}\right]$。本题 $m=5,n=2,V=208,h=4$，得 $b=4$（分米），$S=156$（平方分米），即 $1.56$（平方米）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

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