1977-河北卷-05 解-直角梯形的几何性质

本题导读

本题考查直角梯形的几何性质与二次函数最值的实际应用。

📌【题干】

Question

（1977年河北卷） 某生产队要建立一个形状是直角梯形的苗圃，其两邻边借用夹角为 $135^{\circ }$ 的两面墙，另外两边是总长为 $30$ 米的篱笆（如图，$AD$ 和 $DC$ 为墙），问篱笆的两边各多长时，苗圃的面积最大？最大面积是多少？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理清图形结构：

• 四边形 $ABCD$ 是直角梯形，$DC\parallel AB$，$\angle B=\angle C=90^{\circ }$。
• 两面墙 $AD$ 和 $DC$ 的夹角 $\angle ADC=135^{\circ }$。
• 篱笆 $AB+BC=30$ 米。

2. 作辅助线：

• 过点 $D$ 作 $DE\perp AB$ 于点 $E$。
• 四边形 $DEBC$ 是矩形，$DE=BC$，$EB=DC$。
• 在 $\text{Rt}△ADE$ 中，$\angle DAE=180^{\circ }-135^{\circ }=45^{\circ }$，是等腰直角三角形，故 $AE=DE=BC$。

3. 设变量建函数：

• 设 $BC=x$ 米，则 $AB=30-x$ 米。
• 上底 $DC=EB=AB-AE=(30-x)-x=30-2x$。

4. 求最值：由梯形面积公式建立二次函数，配方求最大值，注意 $DC>0$。

✅【答案】

Success

答：当篱笆两边 $AB$ 长为 $20$ 米、 $BC$ 长为 $10$ 米时，苗圃的面积最大，最大面积是 $150$ 平方米

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：作辅助线 四边形 $ABCD$ 是直角梯形，$DC\parallel AB$，$\angle B=\angle C=90^{\circ }$，墙面夹角 $\angle ADC=135^{\circ }$，篱笆总长 $AB+BC=30$ 米。

过点 $D$ 作 $DE\perp AB$ 于点 $E$。 因为 $DC\parallel AB$ 且 $\angle C=90^{\circ }$，四边形 $DEBC$ 为矩形。 得： $DE=BC,EB=DC$

在 $\text{Rt}△ADE$ 中： $\angle DAE=180^{\circ }-\angle ADC=180^{\circ }-135^{\circ }=45^{\circ }$ 所以 $△ADE$ 是等腰直角三角形： $AE=DE=BC$

• 第二步：设变量表示各边 设 $BC=x$ 米，则 $AB=30-x$ 米。 由 $AE=BC=x$，上底： $DC=EB=AB-AE=(30-x)-x=30-2x$

由边长为正： $\{\begin{array}{l}x>0\\ 30-2x>0\end{array}⟹0<x<15$

• 第三步：建立面积函数 $S=\frac{1}{2}(DC+AB)\cdot BC$ 代入： $S=\frac{1}{2}[(30-2x)+(30-x)]\cdot x$ $S=\frac{1}{2}(60-3x)\cdot x=30x-\frac{3}{2}{x}^2$

• 第四步：配方求最大值 $S=-\frac{3}{2}\left(x^2-20x\right)=-\frac{3}{2}\left(x^2-20x+100-100\right)$ $S=-\frac{3}{2}(x-10{)}^2+150$

因为 $-\frac{3}{2}<0$，抛物线开口向下。 当 $x=10$（在 $0<x<15$ 内）时，$S$ 取最大值 $150$。

此时：

• $BC=x=10$ 米
• $AB=30-x=30-10=20$ 米

答：当篱笆两边 $AB$ 长为 $20$ 米、 $BC$ 长为 $10$ 米时，苗圃的面积最大，最大面积是 $150$ 平方米。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：实际问题的几何建模、等腰直角三角形边长转化、二次函数顶点求最值。
2. 核心方法：作高线法、配方法。
3. 避坑指南：

• 漏掉定义域：别漏掉 $0<x<15$。本题顶点 $x=10$ 在区间内；若顶点落在区间外，需在边界处取最值。

• 分清墙与篱笆：墙（$AD,DC$）长度固定，篱笆（$AB,BC$）才是变量。若把未知数设在墙上，会列错函数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1977 年河北卷第 5 题，考查围成面积的最值问题。

2. 结论推广：若两面墙夹角为 $180^{\circ }-\theta$，篱笆总长 $AB+BC=L$，设 $BC=x$，则 $DC=L-x-x\cot \theta$，面积 $S=Lx-\left(1+\frac{\cot \theta }{2}\right)x^2$，当 $BC=\frac{L}{2+\cot \theta }$ 时取得最大值 $S_{\max }=\frac{L^2}{2(2+\cot \theta )}$。本题 $\theta =45^{\circ }$，$\cot 45^{\circ }=1$，$L=30$，得 $BC=10$，$S_{\max }=150$。

🔗【关联脉络】

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