1977-河北卷-01 解-函数的基本概念

本题导读

本题考查函数的基本概念。

📌【题干】

Question

（1977年河北卷） 解答下列各题： (1) 叙述函数的定义.

(2) 求函数 $y=1-\frac{1}{\sqrt{2-3x}}$ 的定义域.

(3) 计算：$\left[1-(0.5{)}^{-2}\right]÷{\left(-\frac{27}{8}\right)}^{\frac{1}{3}}$.

(4) 计算: ${\log }_{4}2$.

(5) 分解因式：$x^{2}y-2y^3$.

(6) 计算: $\sin \frac{4\pi }{3}\cdot \cos \frac{25\pi }{6}\cdot \tan \left(-\frac{3\pi }{4}\right)$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 多视角审视定义：在中等数学阶段，函数的定义存在两种经典表述方式，即初中阶段基于运动变化的“变量观点”和高中阶段基于集合论的“现代映射观点”。

2. 抓取核心要素：无论采用何种表述，必须精准包含自变量的任意性、数集的非空性以及因变量的唯一确定性（单值对应）。

3. 寻找约束屏障：

• 存在代数分式结构 $\frac{1}{\square }$，要求分母 $\sqrt{2-3x}\ne 0$。
• 存在二次算术根式结构 $\sqrt{△}$，要求根号内部被开方数 $2-3x\ge 0$。

2. 联立不等式组降维：

• 综合上述两重物理屏障，根号处于分母位置时，其内部表达式必须严格满足 $△>0$，即 $2-3x>0$。

3. 隔离解出区间：解一元一次不等式，将结果规范书写为集合或区间形式。

4. 化简中括号内的项：

• 小数 $0.5$ 转化为分数 $\frac{1}{2}$。
• 运用负整数指数幂的性质 $a^{-n}={\left(\frac{1}{a}\right)}^n$，将 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}$ 转化为 $2^2=4$。
• 计算中括号内的差值： $1-4=-3$。

2. 化简右侧分数指数幂：

• 观察底数 $\frac{27}{8}$ 的立方形貌，识别出 $27=3^3$ 且 $8=2^3$，即 $\frac{27}{8}={\left(\frac{3}{2}\right)}^3$。
• 运用分数指数幂性质 ${\left(x^3\right)}^{\frac{1}{3}}=x$，对负底数开三次方根，求出精确值。

3. 执行除法运算：将左端计算结果除以右端化简结果，输出最终实数值。

4. 方法一（利用对数换底公式推论）：

• 观察底数 4 和真数 2 的特征，发现 $4=2^2$。
• 利用性质 ${\log }_{a^n}b=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$，将底数的幂次提到对数号前方作为倒数。

2. 方法二（利用对数定义方程法）：

• 设 ${\log }_{4}2=x$，根据对数与指数的互化定义可知 $4^x=2$。

• 将底数统一为 2 得到 $2^{2x}=2^1$，进而通过对齐指数解出 $x$。

1. 第一步：提公因式：观察多项式 $x^{2}y-2y^3$ 的各项，两项中都含有字母 $y$，且最低次数为 1。首先应当提取公因式 $y$，将其转化为 $y(x^2-2y^2)$ 的形式。

2. 第二步：实数范围内继续分解：括号内的多项式 $x^2-2y^2$ 是两项的平方差形态。将常数 2 视为 $(\sqrt{2}{)}^2$，则 $2y^2$ 可改写为 $(\sqrt{2}y{)}^2$。

3. 第三步：应用平方差公式：利用公式 $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$，在实数范围内将括号内部多项式彻底分解。

4. 逐项拆解分析：

• 第一项 $\sin \frac{4\pi }{3}$：角度位于第三象限，变形为 $\sin \left(\pi +\frac{\pi }{3}\right)$，利用诱导公式转化为负的锐角正弦值。
• 第二项 $\cos \frac{25\pi }{6}$：角度超过 $2\pi$，剥离周期变形为 $\cos \left(4\pi +\frac{\pi }{6}\right)=\cos \frac{\pi }{6}$。
• 第三项 $\tan \left(-\frac{3\pi }{4}\right)$：先利用正切函数的奇偶性导出负号，再利用 $\tan \left(\pi -\frac{\pi }{4}\right)$ 转化为特殊角。

2. 综合求积：将三项所得的精确特殊角数值代回，执行有理数乘法。

✅【答案】

Success

$-\frac{3}{4}$

✍【详细解析】

Abstract

在数学中，关于**函数（Function）**的定义通常有两种规范的叙述方式：

方式一：近代数集映射定义（推荐）

设 $A$，$B$ 是两个非空数集，如果按照某种确定的对应法则 $f$，使得对于集合 $A$ 中的任意一个数 $x$，在集合 $B$ 中都有唯一确定的数 $y$ 和它对应，那么就称 $y=f(x)$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 的一个函数。 其中：

• $x$ 叫做自变量，$x$ 的取值范围（集合 $A$）叫做函数的定义域。
• 与 $x$ 对应的 $y$ 的值叫做函数值，函数值的集合 $\{f(x)\mid x\in A\}$ 叫做函数的值域。

---

方式二：传统变量定义

设在一个变化过程中有两个变量 $x$ 和 $y$，如果对于变量 $x$ 在某一范围内的每一个确定的值，变量 $y$ 都有唯一确定的值与之对应，那么就称 $x$ 是自变量，$y$ 是 $x$ 的函数。

根据初等函数定义域的建立原则，自变量 $x$ 必须同时满足以下数学约束：

• 第一步：列出使解析式有意义的不等式条件
• 二次根式要求被开方数非负： $2-3x\ge 0$
• 分式要求分母不能为零： $\sqrt{2-3x}\ne 0⟹2-3x\ne 0$

联立两条件，等价于要求根号内多项式严格大于零： $2-3x>0$

• 第二步：求解一元一次不等式 移项整理，将常数项移至等式右侧： $-3x>-2$

两边同时除以负数 $-3$，注意不等号方向发生翻转： $x<\frac{-2}{-3}$ $x<\frac{2}{3}$

所以，原函数的定义域为： $\left\{x|x<\frac{2}{3}\right\}$

按照实数混合运算的顺序，分步对原式进行化简计算：

• 第一步：化简中括号内的部分 将小数 $0.5$ 写为分数形式： $0.5=\frac{1}{2}$ 利用负指数幂律 $x^{-n}={\left(\frac{1}{x}\right)}^n$ 展开： $(0.5{)}^{-2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}=2^2=4$ 因此，中括号内的表达式值为： $1-(0.5{)}^{-2}=1-4=-3$

• 第二步：化简除数的分数指数幂部分 由于奇数次幂根号内负号可直接提取，且 $\frac{27}{8}={\left(\frac{3}{2}\right)}^3$，根据分式指数幂与根式的等价关系得： ${\left(-\frac{27}{8}\right)}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{8}}=-\frac{3}{2}$

• 第三步：联立执行最后的除法运算 将前两步所得结果代回原式： $\text{原式}=(-3)÷\left(-\frac{3}{2}\right)$

负负得正，将除法转化为乘以除数的倒数： $\text{原式}=3\times \frac{2}{3}=2$

所以，计算结果为： $2$

方法一：利用底数幂次运算法则

根据对数的运算法则，当底数含有幂次时满足 ${\log }_{a^n}b=\frac{1}{n}{\log }_{a}b$：

将底数 4 改写为 2 的平方形式： ${\log }_{4}2={\log }_{2^2}2$

将底数的指数 2 提到对数符号前方，化为倒数系数 $\frac{1}{2}$： ${\log }_{2^2}2=\frac{1}{2}{\log }_{2}2$

因为 相同底数与真数的对数值 ${\log }_{a}a=1$，所以 ${\log }_{2}2=1$，代入得： $\frac{1}{2}{\log }_{2}2=\frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{2}$

---

方法二：利用对数的定义（指数化方程）

设所求的对数值为 $x$： ${\log }_{4}2=x$

根据对数的基本定义，将其转化为等价的指数方程形式： $4^x=2$

将左侧的底数 4 统一化为以 2 为底的幂形式： $(2^2{)}^x=2⟹2^{2x}=2^1$

根据同底数幂的指数相等原则，列出一元一次方程： $2x=1⟹x=\frac{1}{2}$

所以，计算结果为： $\frac{1}{2}$

根据因式分解的常规步骤，首先考虑提公因式，再考虑应用公式：

• 第一步：提取公因式 $y$ 观察可知，各项均含 $y$，提取公因式得： $x^{2}y-2y^3=y(x^2-2y^2)$

• 第二步：在实数范围内运用平方差公式 将括号内的减项进行代数变形，凑配成完全平方结构： $2y^2=(\sqrt{2}y{)}^2$ 代入原式，括号内部呈现标准的平方差结构： $y(x^2-2y^2)=y\left[x^2-(\sqrt{2}y{)}^2\right]$

应用平方差公式 $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ 展开： $y\left[x^2-(\sqrt{2}y{)}^2\right]=y(x-\sqrt{2}y)(x+\sqrt{2}y)$

所以，最终因式分解的结果为： $y(x-\sqrt{2}y)(x+\sqrt{2}y)$

对乘积式中的三项分别运用三角函数诱导公式进行化简求值：

• 第一项：化简 $\sin \frac{4\pi }{3}$ 将角度拆分为以 $\pi$ 为基准的形式： $\frac{4\pi }{3}=\pi +\frac{\pi }{3}$ 根据诱导公式 $\sin (\pi +\alpha )=-\sin \alpha$，该角终边在第三象限，正弦值为负： $\sin \frac{4\pi }{3}=\sin \left(\pi +\frac{\pi }{3}\right)=-\sin \frac{\pi }{3}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

• 第二项：化简 $\cos \frac{25\pi }{6}$ 提取出角度中包含的偶数倍 $\pi$（即剥离周期）： $\frac{25\pi }{6}=\frac{24\pi +\pi }{6}=4\pi +\frac{\pi }{6}$ 根据余弦函数的周期性 $\cos (2k\pi +\alpha )=\cos \alpha (k\in \mathbf{Z})$： $\cos \frac{25\pi }{6}=\cos \left(4\pi +\frac{\pi }{6}\right)=\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

• 第三项：化简 $\tan \left(-\frac{3\pi }{4}\right)$ 首先利用正切函数的奇偶性公式 $\tan (-\alpha )=-\tan \alpha$ 提取负号： $\tan \left(-\frac{3\pi }{4}\right)=-\tan \frac{3\pi }{4}$ 再将大钝角拆分为 $\pi$ 相关的形式： $-\tan \frac{3\pi }{4}=-\tan \left(\pi -\frac{\pi }{4}\right)$ 根据诱导公式 $\tan (\pi -\alpha )=-\tan \alpha$，代入得： $-\tan \left(\pi -\frac{\pi }{4}\right)=-\left(-\tan \frac{\pi }{4}\right)=\tan \frac{\pi }{4}=1$

• 第四步：各项数值相乘求总和 将上述三项化简所得的精确值代回原乘积式： $\text{原式}=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\times 1$ $\text{原式}=-\frac{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}{2\times 2}=-\frac{3}{4}$

所以，计算结果为： $-\frac{3}{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：函数的三要素（定义域、值域、对应法则）。
2. 核心方法：单值对应判别。
3. 避坑指南：

• 致命扣分点（漏掉“唯一确定”）：叙述定义时，如果将“都有唯一确定的数 $y$”漏写成“都有数 $y$”，就会把普通的“多值关系/几何关系”与“函数”混淆。单值对应是函数的本质特征。

• 采用方式一时，必须强调集合 $A,B$ 是非空数集，否则映射关系在逻辑上无法建立。

1. 核心考点：分母与根式的复合定义域边界判定。
2. 核心方法：约束条件联立法。
3. 避坑指南：

• 最致命雷区（区间等号误留）：很多同学看到根号，习惯性直接写下 $2-3x\ge 0$，漏掉了根号处于分母底部这一特殊空间位置。一旦写了等号，导致分母可能化为 0，触犯无意义禁忌。

• 不等式两边同除以负数 $-3$ 时，切记要将大于号“$>$”扭转为小于号 Levant “$<$”。

1. 核心考点：负指数幂与分数指数幂的运算法则。
2. 核心方法：基数有理分数化。
3. 避坑指南：

• 易错点一（负指数幂方向颠倒）：容易将 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}$ 粗成 $\frac{1}{4}$ 或是 $-4$。牢记负号代表的是底数取倒数，而非结果变负。

• 易错点二（符号遗漏）：右侧开立方根后保留的负号“$-$”与前半部分的“$-3$”在最后做除法时，要严格遵守“同号相除得正”的符号法则，避免因粗心丢掉负号得到 $-2$。

1. 核心考点：对数底数指数前置性质、对数与指数的互化。
2. 核心方法：底数统一化简法。
3. 避坑指南：

• 易错点（系数位置颠倒）：容易把底数的幂次直接提到前面作为乘号系数，错算成 ${\log }_{2^2}2=2{\log }_{2}2=2$。牢记：真数的指数前置为原数，底数的指数前置为倒数（即 ${\log }_{a^n}{b}^m=\frac{m}{n}{\log }_{a}b$）。

1. 核心考点：提公因式优先原则、实数范围内的平方差凑配。
2. 核心方法：公式法与提公因式法综合运用。
3. 避坑指南：

• 易错点（因式分解不彻底）：许多同学只提取了公因式写到 $y(x^2-2y^2)$ 就停止计算。在没有明确指明“在有理数范围内分解”的情况下，默认需要在实数范围内分解至无法继续降次为止。由于 $2y^2$ 可以写成完全平方形式，必须继续使用平方差公式进行化简。

• 注意不要在提取公因式时遗漏括弧前方的 $y$。

1. 核心考点：各象限三角函数符号特征、诱导公式的联合运用。
2. 核心方法：单项独立化简法。
3. 避坑指南：

• 易错点一（正负号判断失误）：在化简 $\tan \left(-\frac{3\pi }{4}\right)$ 时，其等价于第四象限顺时针旋转 $135^{\circ }$，终边落在第三象限。第三象限的正切值本身为正数。若多步诱导公式中的负号变号出现混乱，极易错算成 $-1$。

• 最终做乘法时，由于有理数中包含一个负号项，最后的整体乘积结果必须带有负号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于纯粹的代数基本定理叙述。在 1977 年恢复高考的特殊历史背景下，考查纯概念叙述旨在快速筛选并确保录取的学生具备扎实、规范、严谨的数学语言基本功。
2. 结论推广: 函数的概念在高等数学中被进一步抽象拓宽。

• 当数集的限制被解除，变为任意的空间元素、矩阵或几何点集时，该对应关系推广为映射（Mapping）或变换（Transformation）。

• 当自变量 $x$ 本身不是一个数字而是一个函数，其输出 $y$ 是一个确定的实数时（如定积分运算 ${\int }_a^{b}f(x)\text{d}x$），这种“函数的函数”在现代数学中被推广定义为泛函（Functional）。

1. 试题探源: 本题源于高中数学必修第一册《函数》章节中关于具体解析式求定义域的最经典、最标准的教材主干例题。
2. 结论推广: 本题模型属于标准的分母嵌套算术根式边界退化模型。 可以一般化推广为：对于任意形式为 $y=P(x)\pm \frac{Q(x)}{(ax+b{)}^{m/2n}}$ 的函数结构，其分母根式部分的合法代数控制论恒守恒为：

• 当 $a>0$ 时， $\text{定义域}=\left(-\frac{b}{a},+\infty \right)$

• 当 $a<0$ 时， $\text{定义域}=\left(-\infty ,-\frac{b}{a}\right)$ 在本题中， $a=-3<0,b=2$，直接套入推广通项，临界截断点为 $-\frac{2}{-3}=\frac{2}{3}$，由于 $a<0$ 锁定负无穷向，直接口算瞬时输出结果 $\left(-\infty ,\frac{2}{3}\right)$。

1. 试题探源: 本题源于初中代数（八年级上册）中关于实数与整式幂运算性质章节的课后巩固拔高题。它是高中阶段研究指数函数、对数函数复合代数式化简最基本的算力基石。

2. 结论推广: 本题模型属于标准的低阶有理分数指数嵌套守恒模型。 可以一般化推广为：对于任意满足形式的实数运算式 $I=\left[1-{\left(\frac{1}{a}\right)}^{-n}\right]÷{\left(-\frac{a^n-1}{b^n}\right)}^{\frac{1}{n}}$（其中 $n$ 为正奇数），其在代数结构上具有强烈的抵消对称性。当各项因子激发的零点相消时，其运算输出结果可大幅降维压缩。掌握此幂律拆解技巧，在面对中考、高考中更为复杂的超越代数式计算时，可通过迅速将所有底数转化为质因数的分数幂结构，实现化繁为简。

3. 试题探源: 本题源于高中数学必修第一册《对数与对数函数》章节中关于对数基本性质运算的引论题，是后续化简复杂对数多项式及求解对数方程的算力基石。

4. 结论推广: 本题模型属于标准的底数与真数互为阶乘幂的对数模型。 可以一般化推广为：对于任意非零常数 $\lambda$，恒满足： ${\log }_{a^{\lambda }}a=\frac{1}{\lambda }$ 在本题中， $a=2,\lambda =2$，代入推广通项直接口算输出结果为 $\frac{1}{2}$。掌握此项规律可极大提升超越代数式的化简速度。

5. 试题探源: 本题源于初中代数（八年级上册）中关于因式分解章节的核心教材典型课后拔高题。它是后续研究代数分式约分、解高次方程以及高中阶段讨论函数零点分布时的必备数理基本功。

6. 结论推广: 本题模型属于标准的齐次二次型差值多项式分解模型。 可以一般化推广为：对于任意形式为 $A{x}^{2}y-B{y}^3(A>0,B>0)$ 的三项式，其在实数域内的标准彻底分解因式通项必严格守恒为： $A{x}^{2}y-B{y}^3=y(\sqrt{A}x-\sqrt{B}y)(\sqrt{A}x+\sqrt{B}y)$ 在本题中， $A=1,B=2$，代入推广通项直接秒输出结果为 $y(x-\sqrt{2}y)(x+\sqrt{2}y)$。熟练掌握这一公式凑配直觉，能极大提升高阶整式乘除的化简速度。

7. 试题探源: 本题源于高中数学必修第一册《三角函数》章节中关于诱导公式综合应用的经典例题与课后基础练习题，用以考查学生对基础三角恒等变换的熟练度。

8. 结论推广: 本题模型属于标准的特殊角名/号联合退化积模型。 在处理任意复杂的三角函数乘积长式时，其核心均可化为以 $\pi$ 或 $2\pi$ 为基本步长的离散算子变换。掌握“奇变偶不变，符号看象限”的统领性口诀，可将所有宏观任意角大题退化降维为纯有理分数的加减乘除。

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