1977-江西-07 填-二倍角求角

本题导读

本题考查二倍角公式，以及特殊角求值。

📌【题干】

Question

（1977年江西卷） 若 $\alpha$ 为锐角，$\sin 2\alpha =1$，则 $\sin \alpha =$＿＿＿＿.

🔍【思路分析】

破题导航

锐角范围内 $\sin 2\alpha =1$ 有唯一解 $2\alpha =\frac{\pi }{2}$，回代求 $\sin \alpha$。

✅【答案】

Success

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\alpha$ 为锐角，所以 $2\alpha \in (0,\pi )$，在此范围内 $\sin 2\alpha =1$ 仅有 $2\alpha =\frac{\pi }{2}$，即 $\alpha =\frac{\pi }{4}$。故 $\sin \alpha =\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二倍角求角

核心方法：二倍角值域

避坑指南：sin$2\alpha =1$ 锐角内唯一解 $2\alpha =\frac{\pi }{2}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：求值

结论推广：$\frac{\sqrt{2}}{2}$

方法推广：锐角限制保证唯一

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 1991-全国文-17 填-二倍角公式求值