1977-江苏卷-08 解-不定积分的计算

本题导读

本题考查不定积分的计算，涉及凑微分、换元法与有理分式的裂项。

📌【题干】

Question

（1977年江苏卷） 求不定积分：$\int \frac{\text{d}x}{(1+{\text{e}}^x{)}^2}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察被积函数：分母含指数项 ${\text{e}}^x$，分子是常数，缺少直接凑微分的 ${\text{e}}^x$ 因子。

2. 方法一（分子加减凑项）：分子加减 ${\text{e}}^x$，拆分为若干易积分的分式。

3. 方法二（第二类换元）：令 $t=1+{\text{e}}^x$，反解 $x$ 并求 $\text{d}x$，化为有理分式积分。

✅【答案】

Success

$x-\ln (1+{\text{e}}^x)+\frac{1}{1+{\text{e}}^x}+C$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：分子加减凑项与凑微分

• 第一步：拆分分式 原积分为： $\int \frac{\text{d}x}{(1+{\text{e}}^x{)}^2}$

分子加减 ${\text{e}}^x$： $=\int \frac{(1+{\text{e}}^x)-{\text{e}}^x}{(1+{\text{e}}^x{)}^2}\text{d}x$

拆为两个积分： $=\int \frac{1+{\text{e}}^x}{(1+{\text{e}}^x{)}^2}\text{d}x-\int \frac{{\text{e}}^x}{(1+{\text{e}}^x{)}^2}\text{d}x$ $=\int \frac{1}{1+{\text{e}}^x}\text{d}x-\int \frac{{\text{e}}^x}{(1+{\text{e}}^x{)}^2}\text{d}x$

• 第二步：对前半部分再凑项 $\int \frac{1}{1+{\text{e}}^x}\text{d}x=\int \frac{(1+{\text{e}}^x)-{\text{e}}^x}{1+{\text{e}}^x}\text{d}x=\int 1\text{d}x-\int \frac{{\text{e}}^x}{1+{\text{e}}^x}\text{d}x$

代回： $\text{原式}=\int 1\text{d}x-\int \frac{{\text{e}}^x}{1+{\text{e}}^x}\text{d}x-\int \frac{{\text{e}}^x}{(1+{\text{e}}^x{)}^2}\text{d}x$

• 第三步：凑微分并积分 由 ${\text{e}}^x\text{d}x=\text{d}({\text{e}}^x)=\text{d}(1+{\text{e}}^x)$： $\text{原式}=\int 1\text{d}x-\int \frac{\text{d}(1+{\text{e}}^x)}{1+{\text{e}}^x}-\int (1+{\text{e}}^x{)}^{-2}\text{d}(1+{\text{e}}^x)$

由 $\int \frac{1}{u}\text{d}u=\ln |u|$ 及 $\int u^{-2}\text{d}u=-u^{-1}$： $\text{原式}=x-\ln (1+{\text{e}}^x)-\left[-(1+{\text{e}}^x{)}^{-1}\right]+C$ $=x-\ln (1+{\text{e}}^x)+\frac{1}{1+{\text{e}}^x}+C(\text{其中 }C\text{ 为任意常数})$

---

方法二：第二类换元

• 第一步：换元 令： $t=1+{\text{e}}^x⟹{\text{e}}^x=t-1$

两边取对数： $x=\ln (t-1)$

求导： $\text{d}x=\frac{1}{t-1}\text{d}t$

• 第二步：代回化为有理分式积分 $\int \frac{\text{d}x}{(1+{\text{e}}^x{)}^2}=\int \frac{1}{t^2}\cdot \frac{1}{t-1}\text{d}t=\int \frac{1}{t^2(t-1)}\text{d}t$

• 第三步：裂项 $\frac{1}{t^2(t-1)}=\frac{A}{t}+\frac{B}{t^2}+\frac{D}{t-1}$

待定系数得： $\frac{1}{t^2(t-1)}=\frac{-1}{t}+\frac{-1}{t^2}+\frac{1}{t-1}$

• 第四步：积分并回代 $\int \left(\frac{1}{t-1}-\frac{1}{t}-t^{-2}\right)\text{d}t=\ln |t-1|-\ln |t|+\frac{1}{t}+C=\ln \left|\frac{t-1}{t}\right|+\frac{1}{t}+C$

回代 $t=1+{\text{e}}^x$： $\text{原式}=\ln \left|\frac{(1+{\text{e}}^x)-1}{1+{\text{e}}^x}\right|+\frac{1}{1+{\text{e}}^x}+C$ $=\ln \left(\frac{{\text{e}}^x}{1+{\text{e}}^x}\right)+\frac{1}{1+{\text{e}}^x}+C$

由 $\ln \left(\frac{{\text{e}}^x}{1+{\text{e}}^x}\right)=\ln ({\text{e}}^x)-\ln (1+{\text{e}}^x)=x-\ln (1+{\text{e}}^x)$： $\text{原式}=x-\ln (1+{\text{e}}^x)+\frac{1}{1+{\text{e}}^x}+C$

所以，最终不定积分计算结果为： $x-\ln (1+{\text{e}}^x)+\frac{1}{1+{\text{e}}^x}+C$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：换元积分法、有理分式裂项、凑微分。
2. 核心方法：分子加减凑项法、代换换元法。
3. 避坑指南：

• 漏写积分常数 $C$：不定积分的结果必须写任意常数 $+C$。

• 换元后忘回代：方法二换元后，最后要把 $t$ 换回 $x$，不能写到 $t$ 的表达式就结束。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1977 年江苏卷第 8 题，考查含指数函数的不定积分。

2. 结论推广：由 $\frac{1}{1+{\text{e}}^x}=1-\frac{{\text{e}}^x}{1+{\text{e}}^x}$，可得 $\int \frac{\text{d}x}{(1+{\text{e}}^x{)}^n}=\int {\left(1-\frac{{\text{e}}^x}{1+{\text{e}}^x}\right)}^n\text{d}x$，令 $t=1+{\text{e}}^x$ 可化为有理分式积分，再裂项求解。本题 $n=2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.20 定积分与微积分基本定理

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