1977-江苏卷-07 解-函数极限的计算

本题导读

本题考查函数极限的计算，通过分子有理化处理无理式的未定式。

📌【题干】

Question

（1977年江苏卷） 求极限：${\lim }_{x\to \infty }\sqrt{x}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判断未定式：$x\to \infty$ 时，$\sqrt{x}\to \infty$，$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\to 0$，属于 $\infty \cdot 0$ 型未定式。
2. 分子有理化：对 $\sqrt{A}-\sqrt{B}$ 形式，分子分母同乘 $\sqrt{x+1}+\sqrt{x}$，用平方差公式消去根号。
3. 求极限：化为分式后，分子分母同除以最高次项，求极限。

✅【答案】

Success

$\frac{1}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：分子有理化 原极限为： ${\lim }_{x\to \infty }\sqrt{x}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)$ 把括号部分看作分母为 1 的分式，分子分母同乘 $\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)$： $={\lim }_{x\to \infty }\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$
• 第二步：用平方差公式化简分子 由 $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$： ${\left(\sqrt{x+1}\right)}^2-{\left(\sqrt{x}\right)}^2=(x+1)-x=1$ 代入： $={\lim }_{x\to \infty }\frac{\sqrt{x}\cdot 1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}={\lim }_{x\to \infty }\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$
• 第三步：分子分母同除以 $\sqrt{x}$ $={\lim }_{x\to \infty }\frac{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}{\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}={\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{\sqrt{\frac{x+1}{x}}+1}={\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}$ 当 $x\to \infty$ 时，$\frac{1}{x}\to 0$： $\text{原式}=\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$ 所以，极限计算结果为： $\frac{1}{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：共轭因式有理化、未定式极限、无穷小量代换。
2. 核心方法：分子有理化法。
3. 避坑指南：

• 误判为 0 或 $\infty$：$\sqrt{x+1}$ 和 $\sqrt{x}$ 相减趋近于 0，但前面还有 $\sqrt{x}\to \infty$。"$\infty \cdot 0$"是未定式，必须通过有理化后判定，不能凭直觉写 0 或 $\infty$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1977 年江苏卷第 7 题，考查无理式极限的分子有理化。
2. 结论推广：对 ${\lim }_{x\to \infty }\sqrt{x}(\sqrt{x+a}-\sqrt{x})$，由有理化得 ${\lim }_{x\to \infty }\frac{a\sqrt{x}}{\sqrt{x+a}+\sqrt{x}}=\frac{a}{2}$。本题 $a=1$，得 $\frac{1}{2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)