1977-江苏卷-06 解-相似三角形的判定与性质

本题导读

本题考查相似三角形的性质与基本不等式求面积和的最小值。

📌【题干】

Question

（1977年江苏卷） 在两条平行直线 $AB$ 和 $CD$ 上分别取定一点 $M$ 和 $N$, 在直线 $AB$ 上取一定线段 $ME=a$; 在线段 $MN$ 上取一点 $K$, 连结 $EK$ 并延长交 $CD$ 于 $F$ .试问 $K$ 取在哪里时, $\Delta EMK$ 与 $\Delta FNK$ 的面积之和最小? 最小值是多少?

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设平行线间距离：$AB\parallel CD$，两线距离为常数 $h$。
2. 设变量：$△EMK$ 中 $ME$ 边上的高为 $h_1$，则 $△FNK$ 中 $NF$ 边上的高为 $h_2=h-h_1$。
3. 用相似关联底边：

• $AB\parallel CD$，故 $ME\parallel NF$，$△EMK\sim △FNK$。
• $\frac{NF}{ME}=\frac{h_2}{h_1}$，即 $NF=a\cdot \frac{h-h_1}{h_1}$。

4. 建立面积函数求最值：代入面积公式，得关于 $h_1$ 的函数，用基本不等式或配方求最小值。

✅【答案】

Success

当点 $K$ 在线段 $MN$ 上满足 $MK:KN=(\sqrt{2}+1):1$ 时，面积之和最小，最小值为 $(\sqrt{2}-1)ah$ （其中 $h$ 为两平行线间的距离）

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：设高线参数 因为 $AB\parallel CD$，设两平行线间距离为常数 $h(h>0)$。 过点 $K$ 作两平行线的垂线，分别交 $AB$ 于 $H_1$、交 $CD$ 于 $H_2$，则 $H_1{H}_2=h$。

设 $△EMK$ 的高为 $K{H}_1=h_1(0<h_1<h)$。 则 $△FNK$ 的高为 $K{H}_2=h_2=h-h_1$。

• 第二步：用相似关联底边 因为 $AB\parallel CD$，即 $ME\parallel NF$， 在 $△EMK$ 与 $△FNK$ 中： $\angle EMK=\angle FNK,\angle MEK=\angle NFK$ 所以： $△EMK\sim △FNK$

由相似三角形对应边之比等于对应高之比： $\frac{NF}{ME}=\frac{h_2}{h_1}⟹\frac{NF}{a}=\frac{h-h_1}{h_1}$

解得： $NF=\frac{a(h-h_1)}{h_1}$

• 第三步：建立面积函数 设 $△EMK$ 与 $△FNK$ 的面积之和为 $S$： $S=S_{\Delta EMK}+S_{\Delta FNK}=\frac{1}{2}\cdot ME\cdot h_1+\frac{1}{2}\cdot NF\cdot (h-h_1)$

代入 $ME=a$ 和 $NF$： $S=\frac{1}{2}a{h}_1+\frac{1}{2}\cdot \frac{a(h-h_1)}{h_1}\cdot (h-h_1)$ $S=\frac{1}{2}a{h}_1+\frac{a(h-h_1{)}^2}{2h_1}$

提取公因式 $\frac{1}{2}a$： $S=\frac{1}{2}a\left[h_1+\frac{h^2-2h{h}_1+h_1^2}{h_1}\right]$ $S=\frac{1}{2}a\left[h_1+\frac{h^2}{h_1}-2h+h_1\right]=\frac{1}{2}a\left[2h_1+\frac{h^2}{h_1}-2h\right]$

• 第四步：用基本不等式求最小值 由 $a>0$ 且 $h_1>0$，用均值不等式 $A+B\ge 2\sqrt{AB}$： $2h_1+\frac{h^2}{h_1}\ge 2\sqrt{2h_1\cdot \frac{h^2}{h_1}}=2\sqrt{2h^2}=2\sqrt{2}h$

所以： $S\ge \frac{1}{2}a\left[2\sqrt{2}h-2h\right]=(\sqrt{2}-1)ah$

当且仅当 $2h_1=\frac{h^2}{h_1}$ 时取等号： $2h_1=\frac{h^2}{h_1}⟹2h_1^2=h^2⟹h_1=\frac{\sqrt{2}}{2}h$

• 第五步：确定点 $K$ 的位置 由 $AB\parallel CD$，有： $\frac{MK}{KN}=\frac{h_1}{h_2}=\frac{h_1}{h-h_1}$

代入 $h_1=\frac{\sqrt{2}}{2}h$： $\frac{MK}{KN}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}h}{h-\frac{\sqrt{2}}{2}h}=\frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}=\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$

即： $MK=(\sqrt{2}+1)KN$

所以，当点 $K$ 在线段 $MN$ 上满足 $MK:KN=(\sqrt{2}+1):1$ 时，面积之和最小，最小值为 $(\sqrt{2}-1)ah$ （其中 $h$ 为两平行线间的距离）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：相似三角形对应高之比、面积函数的建立、基本不等式求最值。
2. 核心方法：变量代换与函数建模法。
3. 避坑指南：

• 把 $h$ 当未知数：两平行线间的距离 $h$ 是固定常数，唯一的自变量是 $h_1$。

• 表达点 $K$ 的位置：题目问”$K$ 取在哪里”，须用线段比（如 $MK:KN=\sqrt{2}+1:1$）说明，不能只写 $h_1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1977 年江苏卷第 6 题，考查相似三角形与函数最值的综合应用。

2. 结论推广：设 $x=\frac{h_1}{h}\in (0,1)$，则 $S=\frac{1}{2}ah\left[2x+\frac{1}{x}-2\right]$，当 $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时取得最小值 $\frac{1}{2}ah(2\sqrt{2}-2)=(\sqrt{2}-1)ah$，此时对应 $MK:KN=(\sqrt{2}+1):1$。

🔗【关联脉络】

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