1977-江苏卷-05 解-等差数列的性质

本题导读

本题考查等差数列与等比数列的性质，以及三角形内角和定理与余弦定理的综合应用。

📌【题干】

Question

（1977年江苏卷） (1) 若三角形三内角成等差数列，求证：必有一内角为 $60^{\circ }$.

(2) 若三角形三内角成等差数列，而且三边又成等比数列，求证：三角形三内角都是 $60^{\circ }$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对称设元：设三个内角为 $B-d$、 $B$、 $B+d$（$B$ 为中间角，$d$ 为公差）。

2. 用内角和定理：$A+B+C=180^{\circ }$。

3. 消去公差：代入后 $+d$、$-d$ 相消，得 $3B=180^{\circ }$，即 $B=60^{\circ }$。

4. 用(1)的结论：

• 设三内角为 $A,B,C$，对应三边为 $a,b,c$。
• 由(1)得 $B=60^{\circ }$。

2. 用等比中项：

• 三边成等比，得 $b^2=ac$。

3. 用余弦定理：

• 由 $B=60^{\circ }$，$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$。
• 把 $B=60^{\circ }$ 和 $b^2=ac$ 代入，得关于 $a,c$ 的二次方程。

4. 配方：整理成 $(a-c{)}^2=0$，得 $a=c$，从而三边相等。

✅【答案】

Success

（1）（2）均证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

证明：

• 第一步：对称设元 设三角形的三个内角由小到大为 $A,B,C$。 因为它们成等差数列，可设： $A=B-d,B,C=B+d(\text{其中 }d\text{ 为公差，且 }d\ge 0)$

• 第二步：用内角和定理 $A+B+C=180^{\circ }$

代入： $(B-d)+B+(B+d)=180^{\circ }$

$+d$ 与 $-d$ 相消： $3B=180^{\circ }$

• 第三步：解出中间角 $B=60^{\circ }$

由此可知，成等差数列的三个内角中，中间角必为 $60^{\circ }$。

所以，原命题得证。

证明：

• 第一步：用(1)的结论 设三内角由小到大为 $A,B,C$，对应三边为 $a,b,c$。 因为 $A,B,C$ 成等差数列，由(1)得： $B=60^{\circ }$

• 第二步：用等比中项 因为三边 $a,b,c$ 成等比数列，由等比中项： $b^2=ac\text{(1)}$

• 第三步：用余弦定理 在 $△ABC$ 中： $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$

代入 $B=60^{\circ }$，$\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$： $b^2=a^2+c^2-2ac\times \frac{1}{2}$ $b^2=a^2+c^2-ac\text{(2)}$

• 第四步：联立配方 把 ①（$b^2=ac$）代入 ②： $ac=a^2+c^2-ac$

移项： $a^2-2ac+c^2=0$

配方： $(a-c{)}^2=0$

得： $a-c=0⟹a=c\text{(3)}$

• 第五步：得结论 把 $a=c$ 代入 ①： $b^2=a\times a=a^2$

边长为正，故 $b=a$。

于是 $a=b=c$，三角形为等边三角形。 所以： $A=B=C=60^{\circ }$

原命题得证.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列的对称设元、三角形内角和。
2. 核心方法：对称设元法。
3. 避坑指南：

• 交代内角和定理：证明时须明确写出”由三角形内角和为 $180^{\circ }$“，这是列方程的依据。

• 注意单位：结果应写 $60^{\circ }$，带角度符号，不能写成纯数字 60。

1. 核心考点：等比中项、余弦定理、完全平方式。
2. 核心方法：代数消元恒等变形法。
3. 避坑指南：

• 不要用正弦定理硬转：看到 $b^2=ac$ 就用正弦定理化为 ${\sin }^{2}B=\sin A\sin C$，再用和差化积，会引入超越方程，运算复杂。已知两边一角或三边与特殊角，宜用余弦定理建立代数方程。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1977 年江苏卷第 5 题，考查等差数列、等比数列与三角形几何性质的结合。

2. 结论推广：奇数个（$n=2k+1$）数成等差数列，且和为 $S$，则中间项等于 $\frac{S}{n}$。本题三个内角和为 $180^{\circ }$，中间角为 $\frac{180^{\circ }}{3}=60^{\circ }$。

3. 试题探源：本题为 1977 年江苏卷第 5 题，考查解三角形与数列的综合。

4. 结论推广：三角形三边成等比数列（公比 $q$）时，由两边之和大于第三边可得 $q\in \left(\frac{\sqrt{5}-1}{2},\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)$。若再要求三内角成等差数列（即 $B=60^{\circ }$），则可得 $a=b=c$，公比 $q=1$。

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