本题导读
本题考查圆周相遇问题中的路程与速度关系，通过分阶段建模列方程求解。
📌【题干】
Question
（1977年江苏卷） 在周长为 的圆周上，有甲、乙两球以大小不等的速度作匀速圆周运动. 甲球从 点出发按逆时针方向运动，乙球从 点出发按顺时针方向运动，两球相遇于 点. 相遇后，两球各自反方向作匀速圆周运动，但这时甲球速度的大小是原来的 2 倍，乙球速度的大小是原来的一半，以后他们第二次相遇于 点. 已知 厘米， 厘米，求 的长度.
🔍【思路分析】
破题导航
- 理清运动过程：
- 全圆周长 。
- 第一阶段：甲从 逆时针、乙从 顺时针相向运动，相遇于 。两球路程之和等于弧 。
- 第二阶段：在 相遇后各自反方向，第二次相遇于 。圆周上两球从同一点反向出发再次相遇，路程之和等于一个整圆 。
- 利用速度比等于路程比：
- 设甲、乙初始速度为 。
- 第一阶段时间相同，路程比等于速度比。
- 题干给定 ，即甲第一阶段路程为 40。
- 列第二阶段方程：
甲速度变为 （改为顺时针），乙速度变为 （改为逆时针）。
第二阶段路程比等于新速度比： 。
结合弧长关系列出方程求解。
✅【答案】
Success
✍【详细解析】
Abstract
- 第一步：分析第一阶段，设速度比 设甲球初始速度为 ，乙球初始速度为 ，第一次相遇所用时间为 。 甲从 逆时针到 ，路程为：
两球同时出发相向而行，相遇时时间 相同，故速度比等于路程比：
- 第二步：分析第二阶段的路程关系 在 点相遇后，两球各自反方向：
- 甲速度变为 ，从 按顺时针向 方向运动；
- 乙速度变为 ，从 按逆时针向 方向运动。 两球在 点第二次相遇。
圆周上从同一点反向出发再次相遇，两球第二阶段路程之和等于圆周长：
甲从 顺时针经 到 ，第二阶段路程为：
乙第二阶段路程为全周长减去甲的路程：
- 第三步：用已知弧长建立关系 已知 ，乙从 逆时针经 到 ，所以：
由圆周总长： 代入 ：
代入乙第二阶段路程： 与前面结果一致。
- 第四步：列第二阶段速度比方程 第二阶段时间 相同，路程比等于新速度比：
将 ① 代入：
再将 代入：
交叉相乘：
移项：
十字相乘分解：
得：
检验：由 ，两种情形均有 ； 再由题设”两球以大小不等的速度运动”，相遇前速度比 不能等于 ，即 。
当 时，，此时两球速度相等，舍去；
当 时，，满足”速度不等”，保留。
第五步：求
所以， 的长度为：
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：圆周相遇问题中路程与速度的比例关系，分阶段建模列方程。
- 核心方法：比例设元法、整体消元法。
- 避坑指南：
错判第二阶段总路程：第二次相遇时两球反向出发，路程之和是一个整圆（300 cm），不是初始弧长。
大系数二次方程分解：面对 ，可先观察常数项寻找两个数，使它们的和与积分别等于一次项系数与常数项，再进行十字相乘。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源：本题为 1977 年江苏卷第 4 题，考查圆周相遇行程问题的建模与求解。
结论推广：对周长为 的圆周，两球从两点相向出发，首次相遇后速度分别变为原来的 倍并反向运动。两次运动中”时间相同”是列方程的关键，可用”路程比等于速度比”建立比例关系求解。
🔗【关联脉络】
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