1977-江苏卷-03 解-直角三角形斜边中线的性质

本题导读

本题考查直角三角形斜边中线的性质，以及利用角度关系判定等腰三角形。

📌【题干】

Question

（1977年江苏卷） 在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=90^{\circ }$，$CD$、$CE$ 分别为斜边 $AB$ 上的高和中线，且 $\angle BCD$ 与 $\angle ACD$ 之比为 $3:1$，求证：$CD=DE$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由角比例求各角：$\angle ACB=90^{\circ }$，$\angle BCD:\angle ACD=3:1$，设 $\angle ACD=\theta$，则 $\angle BCD=3\theta$，由 $\theta +3\theta =90^{\circ }$ 解出 $\theta$。
2. 用斜边中线性质：$CE$ 是斜边 $AB$ 的中线，故 $CE=AE=BE$，得等腰三角形 $△ACE$ 和 $△BCE$。
3. 在 $△CDE$ 中等角对等边：

• 由高 $CD\perp AB$ 求出 $\angle A$；

• 由等腰三角形得 $\angle ACE=\angle A$；

• 作差得 $\angle DCE$，再求 $\angle DEC$，若 $\angle DCE=\angle DEC$，则 $CD=DE$。

✅【答案】

Success

原命题得证

✍【详细解析】

Abstract

证明：

• 第一步：由角比例求各角 因为 $\angle ACB=90^{\circ }$，$\angle BCD:\angle ACD=3:1$， 设 $\angle ACD=\theta$，则 $\angle BCD=3\theta$。 由： $\theta +3\theta =90^{\circ }⟹4\theta =90^{\circ }⟹\theta =22.5^{\circ }$ 得： $\angle ACD=22.5^{\circ },\angle BCD=3\times 22.5^{\circ }=67.5^{\circ }$

• 第二步：由高求 $\angle A$ 因为 $CD\perp AB$，在 $\text{Rt}△ADC$ 中两锐角互余： $\angle A=90^{\circ }-\angle ACD=90^{\circ }-22.5^{\circ }=67.5^{\circ }$

• 第三步：用斜边中线定理 $CE$ 是 $\text{Rt}△ABC$ 斜边 $AB$ 上的中线，由斜边中线定理： $CE=AE=\frac{1}{2}AB$

所以 $△ACE$ 是以 $CE=AE$ 为腰的等腰三角形。 由等边对等角： $\angle ACE=\angle A=67.5^{\circ }$

• 第四步：求 $△CDE$ 的两个角 $\angle ACE=\angle ACD+\angle DCE$

即 $67.5^{\circ }=22.5^{\circ }+\angle DCE$，得： $\angle DCE=67.5^{\circ }-22.5^{\circ }=45^{\circ }$

又 $CD\perp AB$，$\angle CDE=90^{\circ }$，所以： $\angle DEC=90^{\circ }-\angle DCE=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$

于是 $\angle DCE=\angle DEC=45^{\circ }$。

由等角对等边，$△CDE$ 是以 $CD,DE$ 为腰的等腰直角三角形。 所以： $CD=DE$

原命题得证.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直角三角形斜边中线定理、等腰三角形的判定、高与锐角互余。
2. 核心方法：角度计算法。
3. 避坑指南：

• 不敢用非整数角度：算出 $\theta =22.5^{\circ }$ 是正常的，角度只是中间量，只要推理正确，最后相减往往能还原为特殊角（本题为 $45^{\circ }$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1977 年江苏卷第 3 题，考查直角三角形斜边上的高与中线的角度关系。

2. 结论推广：在直角三角形 $△ABC$（$\angle ACB=90^{\circ }$）中，$CD,CE$ 分别为斜边 $AB$ 上的高和中线，则 $\angle DCE=|\angle A-\angle B|$。本题 $\angle A=67.5^{\circ }$，$\angle B=22.5^{\circ }$，故 $\angle DCE=45^{\circ }$，进而 $△CDE$ 为等腰直角三角形，$CD=DE$。

🔗【关联脉络】

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• 11.02 余弦定理

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