1977-江苏卷-01 解-分数指数幂的运算法则

本题导读

本题考查分数指数幂运算、函数定义域、指数方程、复合对数、极坐标互化、数列极限与因式分解。

📌【题干】

Question

（1977年江苏卷） (1) 计算：${\left(2\frac{1}{4}\right)}^{\frac{1}{2}}+{\left(\frac{1}{10}\right)}^{-2}-(3.14{)}^0+{\left(-\frac{27}{8}\right)}^{-\frac{1}{3}}$. (2) 求函数 $y=\sqrt{x-2}+\frac{1}{x-3}+\lg (5-x)$ 的定义域. (3) 解方程：$5^{x^2+2x}=125$. (4) 计算：$-{\log }_3\left({\log }_3\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}}\right)$. (5) 把直角坐标方程 $(x-3{)}^2+y^2=9$ 化为极坐标方程. (6) 计算：${\lim }_{n\to \infty }\frac{1+2+3+\cdots +n}{n^2}$. (7) 分解因式：$x^4-2x^{2}y-3y^2+8y-4$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 逐项化简：

• 第一项 ${\left(2\frac{1}{4}\right)}^{\frac{1}{2}}$：带分数化为假分数 $\frac{9}{4}$，再开平方。
• 第二项 ${\left(\frac{1}{10}\right)}^{-2}$：由负指数幂性质化为倒数的正整数幂。
• 第三项 $-(3.14{)}^0$：非零实数的零次方等于 1。
• 第四项 ${\left(-\frac{27}{8}\right)}^{-\frac{1}{3}}$：化为 ${\left(-\frac{8}{27}\right)}^{\frac{1}{3}}$，再开立方根。

2. 合并求值：将四项化简后通分相加减。
3. 分别确定各项的约束：

• $\sqrt{x-2}$ 要求被开方数非负： $x-2\ge 0$。
• $\frac{1}{x-3}$ 要求分母不为零： $x-3\ne 0$。
• $\lg (5-x)$ 要求真数大于零： $5-x>0$。

2. 取交集：三个条件联立，用数轴求交集，写出集合形式。
3. 化同底：左端底数为 $5$，$125=5^3$，把右端化为 $5^3$。
4. 去底数：由指数函数单调性，底数相同时指数相等，得一元二次方程。
5. 因式分解求解：移项化为标准形式，十字相乘解得两个实数根。
6. 化简最内层根式：$\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}}$ 用 $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=a^{\frac{1}{mn}}$ 化为 $3^{\frac{1}{27}}$。
7. 求内层对数：由 ${\log }_a{a}^k=k$ 得内层对数值。
8. 求外层对数：把内层结果代入外层，由负指数幂与对数性质求出最终值。
9. 用互化公式：直角坐标与极坐标的互化公式为 $\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta \end{array}\text{且}{x}^2+y^2={\rho }^2$
10. 方法一（展开代入）：展开 $(x-3{)}^2$，凑出 $x^2+y^2$，再代入互化公式。
11. 方法二（直接代入）：把 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 代入原方程，用 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 化简。
12. 化简分子：$1+2+3+\cdots +n$ 是等差数列前 $n$ 项和，由 $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$ 化简。
13. 化为分式极限：代入得 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n^2+n}{2n^2}$。
14. 比较最高次项系数：分子、分母最高次都是二次，取 $n^2$ 的系数比。
15. 观察结构：前两项 $x^4-2x^{2}y$ 可凑成 $(x^2-y{)}^2$ 的前半部分。
16. 拆项配方：

• 把 $-3y^2$ 分拆为 $+y^2-4y^2$。
• 前三项配方为 ${\left(x^2-y\right)}^2$，剩余项配成 $-\left(4y^2-8y+4\right)=-4(y-1{)}^2$。

3. 用平方差公式：化为 $A^2-B^2$ 形式后分解。

✅【答案】

Success

$\left(x^2+y-2\right)\left(x^2-3y+2\right)$

✍【详细解析】

Abstract

对四个指数幂分别化简：

• 第一项：带分数化为假分数，再开平方 $2\frac{1}{4}=\frac{2\times 4+1}{4}=\frac{9}{4}$ ${\left(2\frac{1}{4}\right)}^{\frac{1}{2}}={\left(\frac{9}{4}\right)}^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}=\frac{3}{2}$
• 第二项：用负指数幂公式 $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ ${\left(\frac{1}{10}\right)}^{-2}={\left(10^{-1}\right)}^{-2}=10^2=100$
• 第三项：用零指数幂 $a^0=1(a\ne 0)$ $(3.14{)}^0=1⟹-(3.14{)}^0=-1$
• 第四项：负分数指数幂，先取倒数再开立方根 ${\left(-\frac{27}{8}\right)}^{-\frac{1}{3}}={\left(-\frac{8}{27}\right)}^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}=-\frac{2}{3}$
• 代回合并： $\text{原式}=\frac{3}{2}+100-1+\left(-\frac{2}{3}\right)$ $\text{原式}=99+\frac{3}{2}-\frac{2}{3}$ 通分（最小公分母 6）： $\text{原式}=99+\frac{9}{6}-\frac{4}{6}=99+\frac{5}{6}=100\frac{-1}{6}(\text{即 }\frac{599}{6})$ 所以，最终计算结果为： $\frac{599}{6}\left(\text{或 }99\frac{5}{6}\right)$ 要使函数有意义，自变量 $x$ 须同时满足： $\{\begin{array}{ll}x-2\ge 0& \text{（二次根式被开方数非负）}\\ x-3\ne 0& \text{（分式分母不为零）}\\ 5-x>0& \text{（对数真数大于零）}\end{array}$
• 第一步：分别解各不等式
• 由 $x-2\ge 0$ 得： $x\ge 2$
• 由 $x-3\ne 0$ 得： $x\ne 3$
• 由 $5-x>0$ 移项得： $x<5$
• 第二步：联立求交集 $x\ge 2\text{且}x<5\text{且}x\ne 3$ 即在 $[2,5)$ 内去掉点 $3$： $2\le x<5\text{且}x\ne 3$
• 第三步：写出解集 $[2,3)\cup (3,5)\left(\text{或写为：}\{x|2\le x<5\text{ 且 }x\ne 3\}\right)$ 所以，该函数的定义域为： \{x \;\middle|\; 2 \le x < 5 \text{ 且 } x \neq 3\}
• 第一步：化同底 原方程为： $5^{x^2+2x}=125$ 把 $125$ 写成以 $5$ 为底的幂： $125=5^3$ 代入： $5^{x^2+2x}=5^3$
• 第二步：去底数 由指数函数的单调性，底数相同且不为 1 时，指数相等： $x^2+2x=3$ 移项： $x^2+2x-3=0$
• 第三步：十字相乘求解 $(x-1)(x+3)=0$ 解得： $x-1=0⟹x_1=1$ $x+3=0⟹x_2=-3$ 所以，原方程的解为： $x_1=1,x_2=-3$ 由内向外逐层化简：
• 第一步：把多层根式化为分数指数幂 由 $\sqrt[n]{A}=A^{\frac{1}{n}}$ 及 $(A^m{)}^n=A^{mn}$： $\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}}={\left({\left(3^{\frac{1}{3}}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}^{\frac{1}{3}}=3^{\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}=3^{\frac{1}{27}}$
• 第二步：求内层对数 ${\log }_3\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}}={\log }_3\left(3^{\frac{1}{27}}\right)$ 由 ${\log }_a{a}^k=k$： ${\log }_3\left(3^{\frac{1}{27}}\right)=\frac{1}{27}$
• 第三步：求外层对数 $\text{原式}=-{\log }_3\left(\frac{1}{27}\right)$ 由 $27=3^3$，$\frac{1}{27}=3^{-3}$： $\text{原式}=-{\log }_3\left(3^{-3}\right)=-(-3)=3$ 所以，最终计算结果为： $3$

方法一：展开代入

• 第一步：展开 原方程为： $(x-3{)}^2+y^2=9$ 展开第一项： $x^2-6x+9+y^2=9$
• 第二步：合并常数项 两边减 9： $\left(x^2+y^2\right)-6x=0$
• 第三步：代入互化公式 把 $x^2+y^2={\rho }^2$ 及 $x=\rho \cos \theta$ 代入： ${\rho }^2-6\rho \cos \theta =0$
• 第四步：提取公因式 $\rho (\rho -6\cos \theta )=0$ $\rho =0$ 表示极点。而 $\rho =6\cos \theta$ 在 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 时 $\rho =0$，已包含极点。 所以极坐标方程为： $\rho =6\cos \theta$

---

方法二：直接代入

• 第一步：代入互化公式 把 $x=\rho \cos \theta$ 与 $y=\rho \sin \theta$ 代入 $(x-3{)}^2+y^2=9$： $(\rho \cos \theta -3{)}^2+(\rho \sin \theta {)}^2=9$
• 第二步：展开并用三角恒等式化简 ${\rho }^2{\cos }^2\theta -6\rho \cos \theta +9+{\rho }^2{\sin }^2\theta =9$ 合并同类项，两边消去 9： ${\rho }^2\left({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta \right)-6\rho \cos \theta =0$ 由 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$： ${\rho }^2\cdot 1-6\rho \cos \theta =0⟹{\rho }^2-6\rho \cos \theta =0$ 约去 $\rho (\rho \ne 0)$： $\rho =6\cos \theta$ 所以，所求的极坐标方程为： $\rho =6\cos \theta$
• 第一步：用等差数列求和公式化简分子 分子是公差为 1 的等差数列前 $n$ 项和，由 $S_n=\frac{n(n+1)}{2}$： $1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{1}{2}\left(n^2+n\right)$
• 第二步：代入极限式 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{1+2+3+\cdots +n}{n^2}={\lim }_{n\to \infty }\frac{\frac{n(n+1)}{2}}{n^2}={\lim }_{n\to \infty }\frac{n^2+n}{2n^2}$
• 第三步：分子分母同除以 $n^2$ ${\lim }_{n\to \infty }\frac{\frac{n^2}{n^2}+\frac{n}{n^2}}{\frac{2n^2}{n^2}}={\lim }_{n\to \infty }\frac{1+\frac{1}{n}}{2}$ 当 $n\to \infty$ 时，$\frac{1}{n}\to 0$，所以： $\text{原式}=\frac{1+0}{2}=\frac{1}{2}$ 所以，最终计算结果为： $\frac{1}{2}$
• 第一步：拆项配方 原多项式为： $x^4-2x^{2}y-3y^2+8y-4$ 把 $-3y^2$ 分拆为 $+y^2-4y^2$： $=\left(x^4-2x^{2}y+y^2\right)-4y^2+8y-4$
• 第二步：分组配完全平方 $=\left(x^4-2x^{2}y+y^2\right)-\left(4y^2-8y+4\right)$ 由 $(A-B{)}^2=A^2-2AB+B^2$：
• 前半： $x^4-2x^{2}y+y^2={\left(x^2-y\right)}^2$
• 后半： $4y^2-8y+4=(2y-2{)}^2$ 代入得： $={\left(x^2-y\right)}^2-(2y-2{)}^2$
• 第三步：用平方差公式分解 由 $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$，取 $A=x^2-y,B=2y-2$： $=\left[\left(x^2-y\right)+(2y-2)\right]\cdot \left[\left(x^2-y\right)-(2y-2)\right]$ 去括号合并： $=\left(x^2-y+2y-2\right)\left(x^2-y-2y+2\right)$ $=\left(x^2+y-2\right)\left(x^2-3y+2\right)$ 所以，最终因式分解的结果为： $\left(x^2+y-2\right)\left(x^2-3y+2\right)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：负指数幂与倒数、有理数立方根、带分数化简。
2. 核心方法：分项化简法。
3. 避坑指南：

• 带分数化简：$2\frac{1}{4}$ 表示 $2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$，不是 $2\times \frac{1}{4}$。
• 负数开方：负数可开奇次方根，结果为负数，${\left(-\frac{8}{27}\right)}^{\frac{1}{3}}=-\frac{2}{3}$。

1. 核心考点：根式非负、分母不为零、对数真数为正。
2. 核心方法：不等式组取交集。
3. 避坑指南：

• 对数真数不能取等号：应写 $5-x>0$，不是 $5-x\ge 0$（$\lg 0$ 无意义）。
• 漏掉分母断点：合并区间 $2\le x<5$ 时，别漏掉 $x\ne 3$。

1. 核心考点：化同底、指数相等、一元二次方程分解。
2. 核心方法：底数化同法。
3. 避坑指南：

• 指数漏项：$125=5^3$ 后，应写 $x^2+2x=3$，别错写成 $x^2+2x=125$。
• 无须验根：指数函数定义域为 $\mathbb{R}$，同解变形后得到的实根都是合法根。

1. 核心考点：根式化为分数指数幂、对数幂次性质。
2. 核心方法：由内向外化简法。
3. 避坑指南：

• 根式嵌套是乘法：$\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{3}}}$ 的指数是 $\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{27}$，不是相加。
• 符号遗漏：最外层对数前有负号，最后一步负负得正，别漏掉。

1. 核心考点：直角坐标与极坐标互化、圆的极坐标方程。
2. 核心方法：展开代换法。
3. 避坑指南：

• 化简为最简形式：应把 ${\rho }^2-6\rho \cos \theta =0$ 化为 $\rho =6\cos \theta$。因为 $\rho =6\cos \theta$ 在 $\theta =\frac{\pi }{2}$ 时已包含极点 $\rho =0$。

1. 核心考点：等差数列求和、数列极限。
2. 核心方法：先求和再取极限。
3. 避坑指南：

• 不能逐项拆开求极限：极限加法法则只适用于有限项相加。分子有 $n$ 项（随 $n$ 增多），应先合并为单项再取极限。

1. 核心考点：分组分解、完全平方公式、平方差公式。
2. 核心方法：拆项配方法、双十字相乘法。
3. 避坑指南：

• 分解要彻底：因式分解要分解到不能再分解为止。两个因式 $\left(x^2+y-2\right)$ 和 $\left(x^2-3y+2\right)$ 在有理数域内已不能继续分解，写到 ${\left(x^2-y\right)}^2-(2y-2{)}^2$ 就停止属于未完成。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1977 年江苏卷第 1 题，考查分数指数幂与负指数幂的运算。
2. 结论推广：对非零有理数 $a,b$，有 ${\left(\frac{a}{b}\right)}^{-n}={\left(\frac{b}{a}\right)}^n$，${\left(-\frac{a^3}{b^3}\right)}^{\frac{1}{3}}=-\frac{a}{b}$。
3. 试题探源：本题为 1977 年江苏卷第 1 题，考查函数定义域的求解。
4. 结论推广：对 $y=[f(x){]}^{\frac{1}{2}}+[g(x){]}^{-1}+{\log }_a[h(x)]$，定义域为 $\{x\mid f(x)\ge 0\}\cap \{x\mid g(x)\ne 0\}\cap \{x\mid h(x)>0\}$。
5. 试题探源：本题为 1977 年江苏卷第 1 题，考查简单指数方程的求解。
6. 结论推广：对 $a^{f(x)}=b(a>0,a\ne 1,b>0)$，两边取对数得 $f(x)={\log }_{a}b$；当 $b=a^k$ 时，$f(x)=k$。
7. 试题探源：本题为 1977 年江苏卷第 1 题，考查复合对数的化简求值。
8. 结论推广：若真数由 $n$ 层 $m$ 次方根嵌套，则 ${\log }_a\left({\log }_a\underset{n\text{ 层}}{\underbrace{\sqrt[m]{\sqrt[m]{\dots \sqrt[m]{a}}}}}\right)={\log }_a\left(m^{-n}\right)=-n{\log }_{a}m$。本题 $a=3,m=3,n=3$，最外层带负号，得 $-(-3{\log }_{3}3)=3$。
9. 试题探源：本题为 1977 年江苏卷第 1 题，考查直角坐标方程与极坐标方程的互化。
10. 结论推广：圆心在 $(r,0)$、半径为 $r$ 且过原点的圆 $(x-r{)}^2+y^2=r^2$，极坐标方程为 $\rho =2r\cos \theta$；圆心在 $(0,r)$ 的圆 $x^2+(y-r{)}^2=r^2$，极坐标方程为 $\rho =2r\sin \theta$。本题圆心 $(3,0)$，得 $\rho =6\cos \theta$。
11. 试题探源：本题为 1977 年江苏卷第 1 题，考查数列求和与极限。
12. 结论推广：${\lim }_{n\to \infty }\frac{1+2+3+\cdots +n}{n^2}={\int }_0^{1}x\text{d}x=\frac{1}{2}$。一般地，${\lim }_{n\to \infty }\frac{1^k+2^k+3^k+\cdots +n^k}{n^{k+1}}={\int }_0^1{x}^k\text{d}x=\frac{1}{k+1}$。
13. 试题探源：本题为 1977 年江苏卷第 1 题，考查分组分解与双十字相乘。
14. 结论推广：本题也可把 $x^2$ 视为整体 $M$，化为 $M^2-2yM-\left(3y^2-8y+4\right)$，先对常数项十字相乘分解为 $-(3y-2)(y-2)$，再对 $M$ 用双十字相乘法分解。

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