1977-新疆理-05 解-三角形内矩形最值

本题导读

本题考查三角形内截最大矩形。核心在于相似三角形对应边成比例，面积配方法求最大。

📌【题干】

Question

（1977年新疆卷(理)） 在底边为 2 尺、高为 1.6 尺的三角形内截一个最大面积的矩形，并使其一边在三角形的底边上，求矩形的长和宽各是多少.

🔍【思路分析】

破题导航

设长 EH=x，由 $△AEH\sim △ABC$ 得 $\frac{EH}{BC}=\frac{AK}{AD}$，宽 $HG=1.6-0.8x$，$S=-0.8(x-1{)}^2+0.8$。

✅【答案】

Success

长 1 尺、宽 0.8 尺时面积最大

✍【详细解析】

Abstract

矩形一边 $FG$ 在 $BC$ 上，故 $EH\parallel BC$，$△AEH\sim △ABC$，$\frac{EH}{BC}=\frac{AK}{AD}$。设长 $EH=x$ 尺，则 $\frac{x}{2}=\frac{AK}{1.6}$，$AK=0.8x$，宽 $HG=KD=1.6-0.8x$。面积 $S=x(1.6-0.8x)=-0.8x^2+1.6x=-0.8(x-1{)}^2+0.8$，故 $x=1$ 时最大，此时宽 $HG=1.6-0.8\times 1=0.8$。答：长 1 尺、宽 0.8 尺。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角形内矩形最值

核心方法：相似三角形 + 二次函数配方法

避坑指南：EH/BC=AK/AD，设长 x 得宽 1.6-0.8x，S=-0.8(x-1)²+0.8，x=1 宽 0.8。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于三角形内截最大矩形，考查相似与二次函数最值。

结论推广：相似三角形对应边成比例，面积用二次函数求最值。

方法推广：宽 HG=KD=1.6-0.8x 的推导是列式关键。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

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• 1977-内蒙古理-08 解-椭圆内接矩形