1977-广东-07 解-椭圆定义轨迹

本题导读

本题考查轨迹方程。核心在于距离比 $\frac{4}{5}$ 为离心率，平方化简即得标准方程。

📌【题干】

Question

（1977年广东卷） 如果平面内一动点 $P$ 到点 $(-4,0)$ 的距离等于它到直线 $x=-\frac{25}{4}$ 的距离的 $\frac{4}{5}$，(1)求 $P$ 点的轨迹方程；(2)这又是一条什么曲线？

🔍【思路分析】

破题导航

设 $P(x,y)$ 列距离等式；两边平方化简得 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$；距离比为常数 $e=\frac{4}{5}$ 即椭圆第二定义。

✅【答案】

Success

(1)$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$(2)此轨迹是个椭圆

✍【详细解析】

Abstract

(1)设动点 $P$ 的坐标 $(x,y)$。则 $P$ 到点 $(-4,0)$ 的距离是 $\sqrt{(x+4{)}^2+y^2}$，而 $P$ 点到直线 $x=-\frac{25}{4}$ 的距离是 $\left|x+\frac{25}{4}\right|$。依题意，得 $\sqrt{(x+4{)}^2+y^2}=\frac{4}{5}\left|x+\frac{25}{4}\right|$。两边平方：$(x+4{)}^2+y^2=\frac{16}{25}{\left(x+\frac{25}{4}\right)}^2$，即 $25(x^2+8x+16)+25y^2=16x^2+200x+625$，化简得 $9x^2+25y^2=225$，即 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$。(2)此轨迹是个椭圆（到定点距离与到定直线距离之比为常数 $\frac{4}{5}<1$，即离心率 $e=\frac{4}{5}$，焦点在 $x$ 轴上）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆定义轨迹

核心方法：第二定义列式

避坑指南：距离比 $\frac{4}{5}=e$ 恒定即椭圆；平方化简得标准方程

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆锥曲线

结论推广：$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$，椭圆（$e=\frac{4}{5}$）

方法推广：到定点与定直线距离之比为常数即第二定义

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结

类题演练 (Links)

• 2005-重庆卷文-16 填-垂直平分线与椭圆定义
• 2006-全国卷II文-05 单-椭圆定义求三角形周长