1977-广东-06 解-双切线等长证明

本题导读

本题考查圆的切线与全等证明。核心在于两组直角三角形各全等一次：先得角平分线，再得等长。

📌【题干】

Question

（1977年广东卷） 如图，已知 $AE$ 和 $AF$ 是 $\odot O$ 的切线，$M$，$N$ 是切点，$EF$ 过圆心且垂直于 $AO$.求证：$AE=AF$.

🔍【思路分析】

破题导航

连 $OM$、$ON$ 得两个直角三角形全等（斜边 $OA$ 公共、直角边 $OM=ON$），得 $\angle EAO=\angle FAO$；再证 $△AOE\cong △AOF$ 得 $AE=AF$。

✅【答案】

Success

$AE=AF$（证明见解析）

✍【详细解析】

Abstract

连接 $OM$，$ON$。因为 $M$，$N$ 是切点，所以 $OM\perp AE$，$ON\perp AF$。在直角 $△OMA$ 和直角 $△ONA$ 中，因为 $OA=OA$（公共边），$OM=ON$（圆的半径相等），所以 $△OMA\cong △ONA$。所以 $\angle EAO=\angle FAO$（对应角相等）。在直角 $△AOE$ 和直角 $△AOF$ 中，因为 $OA=OA$（公共边），$\angle EAO=\angle FAO$（已证），所以 $△AOE\cong △AOF$。因此 $AE=AF$（对应边相等）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双切线等长证明

核心方法：切线垂直半径+全等

避坑指南：两组直角三角形各全等一次：先等角、再等线段

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆的切线

结论推广：$AE=AF$

方法推广：切线长定理的角平分线证明路径

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练 (Links)

• 2010-新课标Ⅰ文-22 解-圆切线几何证明
• 1977-吉林-11 解-圆的切线