1977-山西-10 解-定积分求压力

本题导读

本题考查定积分在物理压力计算中的应用。核心在于用微元法建立面积元上的压力并积分。

📌【题干】

Question

（1977年山西卷） 一水库的水闸为一等腰梯形，上底为 $8$ 米，下底为 $4$ 米，高为 $10$ 米.求当水面与上底相齐时水闸所受的压力.（已知水的比重为 $1$ 吨重/立方米）

🔍【思路分析】

破题导航

水面下 $x$ 米处压强 $P=x$，面积元宽 $8-\frac{2}{5}x$，积分 $0$ 到 $10$。

✅【答案】

Success

$\frac{800}{3}$ 吨

✍【详细解析】

Abstract

水面以下 $x$ 米处压强 $P=x$ 吨重/平方米。梯形宽随深度线性变化，深度 $x$ 处宽为 $8-\frac{8-4}{10}x=8-\frac{2}{5}x$。面积元所受压力 $dF=P(8-\frac{2}{5}x)dx=x(8-\frac{2}{5}x)dx$。总压力 $F={\int }_0^{10}x(8-\frac{2}{5}x)dx=(4x^2-\frac{2x^3}{15}){|}_0^{10}=\frac{800}{3}$ 吨。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：定积分求压力

核心方法：微元法积分

避坑指南：面积元 $dF=PdS$，定积分 $0$ 到 $10$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：积分

结论推广：$\frac{800}{3}$ 吨

方法推广：微元法定积分

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 20.20 定积分与微积分基本定理

类题演练 (Links)

• 2007-北京文-09 填-导数值计算