1977-山东B-13 解-定积分求两抛物线围成面积

本题导读

本题考查定积分应用（参考题，大学内容）。核心在于解方程组得交点横坐标 $0$ 与 $4$，被积函数为上曲线 $2\sqrt{x}$ 减下曲线 $\frac{x^2}{4}$。

📌【题干】

Question

（1977年山东B卷） 用定积分求抛物线 $y^2=4x$ 与 $x^2=4y$ 所围成的曲边形面积.

🔍【思路分析】

破题导航

联立解得 $x=0,4$；$y^2=4x$ 上半支 $y=2\sqrt{x}$ 在上，$y=\frac{x^2}{4}$ 在下；$S={\int }_0^4\left(2\sqrt{x}-\frac{x^2}{4}\right)dx=\frac{32}{3}-\frac{16}{3}=\frac{16}{3}$。

✅【答案】

Success

$S=\frac{16}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

设曲边形面积为 $S$。解方程组 $y^2=4x$ 与 $x^2=4y$，得两交点的横坐标 $x=0$ 与 $x=4$。 $S={\int }_0^{4}2\sqrt{x}dx-{\int }_0^4\frac{1}{4}{x}^{2}dx=\frac{4}{3}{x}^{\frac{3}{2}}{|}_0^4-\frac{1}{12}{x}^3{|}_0^4=\frac{32}{3}-\frac{16}{3}=\frac{16}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：定积分求两抛物线围成面积

核心方法：上减下积分

避坑指南：交点 $x=0,4$；$S={\int }_0^4(2\sqrt{x}-\frac{x^2}{4})dx$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：面积

结论推广：$\frac{16}{3}$

方法推广：上曲线减下曲线

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 20.20 定积分与微积分基本定理

类题演练 (Links)

• 1977-江西-21 解-抛物线围成面积定积分
• 1977-辽宁-13 解-定积分求面积