1977-安徽理-03 解-二项式与中线

本题导读

本题考查二项式展开式的通项与直角三角形中线恒等式。核心在于通项公式的指数运算与 $AM=\frac{1}{2}BC$ 的转化。

📌【题干】

Question

（1977年安徽卷(理)） (1)写出 ${\left(\sqrt[3]{x}-\frac{2}{3\sqrt[5]{x}}\right)}^n$ 的展开式的第 $(r+1)$ 项.

(2)设 $AM$ 是直角三角形斜边 $BC$ 上的中线，求证：$B{C}^2+A{C}^2+A{B}^2=8A{M}^2$.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)$T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r(\sqrt[3]{x}{)}^{n-r}{\left(-\frac{2}{3\sqrt[5]{x}}\right)}^r$，指数通分合并；(2)$8A{M}^2=8\cdot (\frac{1}{2}BC{)}^2=2B{C}^2$，再用勾股定理 $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$。

✅【答案】

Success

(1)$T_{r+1}=(-1{)}^r{\mathrm{C}}_n^r{\left(\frac{2}{3}\right)}^r{x}^{\frac{5n-8r}{15}}$(2)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)第 $(r+1)$ 项为 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r(\sqrt[3]{x}{)}^{n-r}{\left(-\frac{2}{3\sqrt[5]{x}}\right)}^r=(-1{)}^r{\mathrm{C}}_n^r{\left(\frac{2}{3}\right)}^r{\left(x^{\frac{1}{3}}\right)}^{n-r}{\left(x^{-\frac{1}{5}}\right)}^r=(-1{)}^r{\mathrm{C}}_n^r{\left(\frac{2}{3}\right)}^r{x}^{\frac{5n-8r}{15}}$。 (2)因为 $AM=\frac{1}{2}BC$，所以 $8A{M}^2=8\cdot {\left(\frac{1}{2}BC\right)}^2=2B{C}^2$。又根据勾股定理 $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$，所以 $A{B}^2+A{C}^2+B{C}^2=B{C}^2+B{C}^2=2B{C}^2$。因此 $B{C}^2+A{C}^2+A{B}^2=8A{M}^2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式与中线

核心方法：通项公式+勾股

避坑指南：$T_{r+1}=(-1{)}^r{\mathrm{C}}_n^r{\left(\frac{2}{3}\right)}^r{x}^{\frac{5n-8r}{15}}$；$AM=\frac{1}{2}BC$ 转化

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：两小题

结论推广：$T_{r+1}=(-1{)}^r{\mathrm{C}}_n^r(\frac{2}{3}{)}^r{x}^{\frac{5n-8r}{15}}$；三边平方和 $=8A{M}^2$

方法推广：通项记牢指数运算

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 11.06 中线模型与衍生恒等式

类题演练 (Links)

• 1982-全国文-02 解-二项式展开式的特定项
• 2006-全国卷II文-17 解-解三角形求边与中线