1977-宁夏-15 解-正六边形面积不等式

本题导读

本题考查正六边形内接小六边形。核心在于余弦定理求小六边形边长，均值不等式证面积关系。

📌【题干】

Question

（1977年宁夏卷） 一大正六边形内接一个小正六边形，小正六边形各顶点分大正六边形各边成 $m$、$n$ 两段（$S_{\text{大}}$ 表示大正六边形的面积）.(1)求小正六边形的面积 $S_{\text{小}}$；(2)证明 $4S_{\text{小}}\ge 3S_{\text{大}}$.

🔍【思路分析】

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$A\prime B{\prime }^2=m^2+n^2-2mn\cos 120^{\circ }=m^2+n^2+mn$；$S_{\text{小}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}A\prime B{\prime }^2$；用 $mn\le {\left(\frac{m+n}{2}\right)}^2$ 证明。

✅【答案】

Success

(1)$S_{\text{小}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}(m^2+n^2+mn)$；(2)证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1)由图，$A\prime B=n$、$BB\prime =m$，正六边形内角 $\angle B=120^{\circ }$。故 $A\prime B{\prime }^2=m^2+n^2-2mn\cos 120^{\circ }=m^2+n^2+mn$，从而 $S_{\text{小}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}A\prime B{\prime }^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}(m^2+n^2+mn)$。(2)$3S_{\text{大}}=3\times \frac{3\sqrt{3}}{2}A{B}^2=\frac{9\sqrt{3}}{2}(m+n{)}^2$，$4S_{\text{小}}=6\sqrt{3}(m^2+n^2+mn)=6\sqrt{3}[(m+n{)}^2-mn]$。因 $mn\le {\left(\frac{m+n}{2}\right)}^2$，故 $4S_{\text{小}}\ge 6\sqrt{3}\left[(m+n{)}^2-{\left(\frac{m+n}{2}\right)}^2\right]=\frac{9\sqrt{3}}{2}(m+n{)}^2=3S_{\text{大}}$，即 $4S_{\text{小}}\ge 3S_{\text{大}}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正六边形面积不等式

核心方法：余弦定理求小六边形边长，用均值不等式证

避坑指南：A′B′²=m²+n²+mn，S小=3√3/2·(m²+n²+mn)，4S小≥3S大。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于正六边形内接小六边形，考查余弦定理与均值不等式。

结论推广：正六边形内角 120°，余弦定理求边长，均值不等式证不等。

方法推广：mn≤((m+n)/2)² 是证明 4S小≥3S大 的关键。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 1977-内蒙古理-08 解-椭圆内接矩形
• 1977-江西-16 解-判别式与平行四边形最值