1977-宁夏-14 解-窗框面积最值

本题导读

本题考查矩形面积最值。核心在于设长 x、宽 (3-x)/2，配方法求面积最大。

📌【题干】

Question

（1977年宁夏卷） 用 6 米长的条形木料做如图的矩形窗框（包括中间的两个横档），问窗框的长、宽尺寸如何选择，窗框的面积最大？

🔍【思路分析】

破题导航

设长 x 米，宽 (6-2x)/4=(3-x)/2 米，面积 S=x(3-x)/2=-(x-3/2)²/2+9/8。

✅【答案】

Success

长 $\frac{3}{2}$ 米、宽 $\frac{3}{4}$ 米时面积最大

✍【详细解析】

Abstract

设窗框长 $x$ 米，则宽 $\frac{6-2x}{4}=\frac{3-x}{2}$ 米。面积 $S=x\cdot \frac{3-x}{2}=-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{3}{2}x=-\frac{1}{2}{\left(x-\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{9}{8}$。当 $x=\frac{3}{2}$ 时 $S$ 最大，此时宽 $\frac{3-\frac{3}{2}}{2}=\frac{3}{4}$。答：长 $\frac{3}{2}$ 米、宽 $\frac{3}{4}$ 米时面积最大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：窗框面积最值

核心方法：设长 x 宽 (3-x)/2，配方法求面积最大

避坑指南：S=x(3-x)/2=-(x-3/2)²/2+9/8，x=3/2、宽 3/4。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于矩形面积最值，考查配方法。

结论推广：周长定值求面积最大，配方求顶点。

方法推广：宽 (6-2x)/4=(3-x)/2 是列式关键。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

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