1977-天津-06 解-极限的未定式判别

本题导读

本题考查 $\frac{0}{0}$ 型未定式极限，涉及洛必达法则与含参数分类讨论。

📌【题干】

Question

（1977年天津卷） 求 $li{m}_{x\to 0}\frac{{\text{e}}^x-{\text{e}}^{-x}-2x}{x-\sin nx}$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 判断未定式类型：

• $x\to 0$ 时，分子 ${\text{e}}^0-{\text{e}}^0-0=1-1-0=0$。
• 分母 $0-\sin (0)=0$。
• 属于 $\frac{0}{0}$ 型未定式，可用洛必达法则或泰勒展开。

2. 方法一（洛必达法则）：

• 分子、分母分别求导，得 $\frac{{\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}-2}{1-n\cos nx}$。
• 代入 $x=0$：分子为 $1+1-2=0$，分母为 $1-n$。
• 若 $n\ne 1$，分母不为 0，极限为 0；
• 若 $n=1$，分母为 0，仍为 $\frac{0}{0}$ 型，需再次求导。

3. 方法二（泰勒展开）：把 ${\text{e}}^x,{\text{e}}^{-x},\sin nx$ 在 $x=0$ 处展开，比较分子、分母的最低次项。

✅【答案】

Success

（详见详细解析）

✍【详细解析】

Abstract

方法一：洛必达法则

设 $L={\lim }_{x\to 0}\frac{{\text{e}}^x-{\text{e}}^{-x}-2x}{x-\sin nx}$。

• 第一步：一次求导 当 $x\to 0$ 时是 $\frac{0}{0}$ 型未定式，满足洛必达法则条件。 分子、分母分别求导： $L={\lim }_{x\to 0}\frac{\frac{\text{d}}{\text{d}x}({\text{e}}^x-{\text{e}}^{-x}-2x)}{\frac{\text{d}}{\text{d}x}(x-\sin nx)}={\lim }_{x\to 0}\frac{{\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}-2}{1-n\cos nx}$
• 第二步：对参数 $n$ 分类讨论 代入 $x=0$，分子为 ${\text{e}}^0+{\text{e}}^0-2=0$，分母为 $1-n\cdot \cos (0)=1-n$。

情形一：当 $n\ne 1$ 时

此时分母 $1-n\ne 0$，可直接求值： $L=\frac{0}{1-n}=0$

情形二：当 $n=1$ 时

代入 $n=1$： $L={\lim }_{x\to 0}\frac{{\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}-2}{1-\cos x}$ 代入 $x=0$，分子为 0，分母为 $1-1=0$，仍为 $\frac{0}{0}$ 型。 再次用洛必达法则求导： $L={\lim }_{x\to 0}\frac{\frac{\text{d}}{\text{d}x}({\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}-2)}{\frac{\text{d}}{\text{d}x}(1-\cos x)}={\lim }_{x\to 0}\frac{{\text{e}}^x-{\text{e}}^{-x}}{\sin x}$ 代入 $x=0$，仍是 $\frac{0}{0}$ 型。第三次求导（也可用等价无穷小 $\sin x\sim x$、${\text{e}}^x-{\text{e}}^{-x}\sim 2x$）： $L={\lim }_{x\to 0}\frac{\frac{\text{d}}{\text{d}x}({\text{e}}^x-{\text{e}}^{-x})}{\frac{\text{d}}{\text{d}x}(\sin x)}={\lim }_{x\to 0}\frac{{\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}}{\cos x}$ 代入 $x=0$： $L=\frac{{\text{e}}^0+{\text{e}}^0}{\cos 0}=\frac{1+1}{1}=2$

方法二：泰勒展开

${\text{e}}^x$、${\text{e}}^{-x}$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开为： ${\text{e}}^x=1+x+\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)$ ${\text{e}}^{-x}=1-x+\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{6}{x}^3+o(x^3)$ （下略）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：$\frac{0}{0}$ 型未定式极限、洛必达法则、等价无穷小替换（$x-\sin x\sim \frac{x^3}{6}$）。
• 核心方法：先验证未定式类型再求导；含参数 $n$ 时须对分母 $1-n\cos nx$ 分类讨论（$n=1$ 与 $n\ne 1$）。
• 避坑指南：$n=1$ 时一阶导后分母仍为 $0$，需二次求导或改用泰勒展开，不能直接代入得 $\frac{0}{0}$。
• 避坑指南：分子 ${\text{e}}^x+{\text{e}}^{-x}-2\sim x^2$，注意 $n\ne 1$ 时极限为 $0$、$n=1$ 时极限为 $2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：本题考查 $\frac{0}{0}$ 型未定式极限与含参数分类讨论，属于初等数学向微积分初步的过渡。 结论推广：由泰勒展开 ${\text{e}}^x-{\text{e}}^{-x}-2x\sim \frac{x^3}{3}$；$x-\sin nx$ 当 $n\ne 1$ 时 $\sim (1-n)x$，当 $n=1$ 时 $\sim \frac{x^3}{6}$。故 $n\ne 1$ 时极限为 $0$，$n=1$ 时极限为 $\frac{1/3}{1/6}=2$。 方法推广：此类问题可用”洛必达法则 + 分类讨论”，也可用”等价无穷小替换 + 泰勒展开”；关键是抓住分子、分母的最低次项，避免盲目多次求导。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

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