1977-天津-04 解-正弦定理解三角形

本题导读

本题考查正弦定理解三角形，以及利用公共边把地面三角形与立面直角三角形联系起来求高。

📌【题干】

Question

（1977年天津卷） (1) 如图，为求河对岸某建筑物的高 $AB$，在地面上引一条基线 $CD=a$，测得 $\angle ACB=\alpha$，$\angle BCD=\beta$，$\angle BDC=\gamma$，求 $AB$. (2) 如果 $\alpha =30^{\circ },\beta =75^{\circ },\gamma =45^{\circ },a=33$ 米，求建筑物 $AB$ 的高.（保留一位小数）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问：

• 建筑物 $AB$ 垂直于地面，$△ABC$ 为直角三角形（$\angle ABC=90^{\circ }$），$BC$ 是公共边。
• 在 $△BCD$ 中，已知 $CD=a$，两角为 $\beta ,\gamma$，顶角 $\angle CBD=180^{\circ }-(\beta +\gamma )$。用正弦定理求 $BC$。
• 在 $\text{Rt}△ABC$ 中，由 $AB=BC\cdot \tan \alpha$ 求出 $AB$。

2. 第(2)问：

• 代入 $\alpha =30^{\circ },\beta =75^{\circ },\gamma =45^{\circ },a=33$。

• $\sin (75^{\circ }+45^{\circ })=\sin 120^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$，分子分母约去 $\sqrt{3}$，得 $11\sqrt{2}$，再取 $\sqrt{2}\approx 1.414$ 保留一位小数。

✅【答案】

Success

建筑物 $AB$ 的高约为 15.6 米

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求建筑物高 $AB$ 的表达式

• 第一步：在 $△BCD$ 中确定顶角 $\angle BCD=\beta ,\angle BDC=\gamma$。 由三角形内角和定理： $\angle CBD=180^{\circ }-(\beta +\gamma )$

• 第二步：用正弦定理求 $BC$ 在 $△BCD$ 中，$CD=a$，其对角为 $\angle CBD$；$BC$ 的对角为 $\angle BDC=\gamma$。 由正弦定理： $\frac{BC}{\sin \gamma }=\frac{a}{\sin [180^{\circ }-(\beta +\gamma )]}$

由诱导公式 $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x$： $BC=\frac{a\cdot \sin \gamma }{\sin (\beta +\gamma )}\text{(1)}$

• 第三步：在 $△ABC$ 中求高 因为 $AB\perp BC$，$△ABC$ 是以 $B$ 为直角顶点的直角三角形。 在 $\text{Rt}△ABC$ 中，$\angle ACB=\alpha$，由正切定义： $AB=BC\cdot \tan \alpha \text{(2)}$

• 第四步：代入消元 将 ① 代入 ②： $AB=\frac{a\cdot \tan \alpha \cdot \sin \gamma }{\sin (\beta +\gamma )}$

---

(2) 代入数值计算

• 第一步：代入数据 将 $\alpha =30^{\circ },\beta =75^{\circ },\gamma =45^{\circ },a=33$ 代入： $AB=\frac{33\times \tan 30^{\circ }\times \sin 45^{\circ }}{\sin (75^{\circ }+45^{\circ })}=\frac{33\times \tan 30^{\circ }\times \sin 45^{\circ }}{\sin 120^{\circ }}$

• 第二步：代入特殊角三角函数值 $\tan 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3},\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin 120^{\circ }=\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

代入： $AB=\frac{33\times \frac{\sqrt{3}}{3}\times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$

化简： $AB=\frac{11\sqrt{3}\times \sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

约去 $\sqrt{3}$： $AB=11\sqrt{2}$

• 第三步：取近似值，保留一位小数 取 $\sqrt{2}\approx 1.4142$： $AB\approx 11\times 1.4142=15.5562\text{ 米}$

按”保留一位小数”四舍五入： $AB\approx 15.6\text{ 米}$

所以，建筑物 $AB$ 的高约为 15.6 米.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理、公共边 $BC$ 在两个三角形间的过渡、诱导公式与特殊角求值。
2. 核心方法：空间图形平面化法。
3. 避坑指南：

• 空间关系看错：本题是立体测量图，$AB$ 垂直于地面。不要把立体图看成平面图而在 $△ACD$ 或 $△ABD$ 中套公式。应先分别在”地面三角形 $△BCD$“和”立面直角三角形 $△ABC$“中处理，再用公共边 $BC$ 过渡。

• 近似值位数：第(2)问要求保留一位小数，若只写 $11\sqrt{2}$ 而不取近似值，会失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1977 年天津卷第 4 题，考查正弦定理在测量高度中的应用。

2. 结论推广：测不可直接到达的物体高度 $H$，可在可测的基线 $L$ 两端向目标底部引两条视线得水平角 $\beta ,\gamma$，再在底部向顶端测得仰角 $\alpha$，则 $H=\frac{L\cdot \tan \alpha \cdot \sin \gamma }{\sin (\beta +\gamma )}$。本题 $L=33,\alpha =30^{\circ },\beta =75^{\circ },\gamma =45^{\circ }$，代入得 $AB=11\sqrt{2}\approx 15.6$ 米。

🔗【关联脉络】

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• 11.01 正弦定理

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