1977-天津-02 解-动态几何函数建模

本题导读

本题考查用二次函数求实际问题的最大值，以及圆中平行弦与弧、弦相等关系的证明。

📌【题干】

Question

（1977年天津卷） (1) 某工厂准备在仓库的一侧建立一个矩形储料场（如图），现有 50 米长的铁丝网，如果用它来围成这个储料场，那么长和宽各是多少时，这个储料场的面积最大？并求出这个最大的面积.

(2) 如图，已知 $AB$、$DE$ 是圆 $O$ 的直径，$AC$ 是弦，$AC\parallel DE$，求证：$CE=EB$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 看清靠墙结构：

• 矩形储料场一侧靠仓库墙，50 米铁丝网只需围三个边。
• 设与墙垂直的边（宽）为 $x$，与墙平行的边（长）为 $y$。

2. 用总长消元：

• $2x+y=50$，得 $y=50-2x$。

3. 建立面积函数：$S=x\cdot y$，代入消元，化为关于 $x$ 的二次函数。

4. 配方求最大值：配方求出顶点处的宽 $x$，再求长 $y$ 和最大面积。

5. 明确证明目标：要证弦 $CE=EB$，只需证它们所对的弧 $\text{overparen}CE=\text{overparen}EB$。

6. 利用平行线性质：

• $AC\parallel DE$，$AB$ 为截线，由内错角相等得 $\angle A=\angle DOB$。

3. 连辅助线构造圆心角：连结 $OC$。在 $△OAC$ 中，$OA=OC$，得 $\angle A=\angle OCA$；再由 $AC\parallel DE$ 得 $\angle OCA=\angle COE$。

4. 等量代换：由上述关系得圆心角 $\angle COE=\angle DOB$，故 $\text{overparen}CE=\text{overparen}EB$，从而 $CE=EB$。

✅【答案】

Success

原命题得证

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：设元，用总长消元 设矩形储料场垂直于墙的边（宽）为 $x$ 米，平行于墙的边（长）为 $y$ 米。 靠墙一侧不用铁丝网，铁丝网总长由三个边构成： $2x+y=50$

解得： $y=50-2x\text{(1)}$ (注：由边长为正，$x>0$ 且 $y>0$，即 $50-2x>0$，得 $0<x<25$)

• 第二步：建立面积函数 设面积为 $S$ 平方米，则： $S=x\cdot y$

将 ① 代入： $S=x(50-2x)=50x-2x^2$

即： $S=-2x^2+50x$

• 第三步：配方求最大值 $S=-2\left(x^2-25x\right)$ $S=-2\left[{\left(x-\frac{25}{2}\right)}^2-{\left(\frac{25}{2}\right)}^2\right]$ $S=-2{\left(x-12.5\right)}^2+2\times 156.25$ $S=-2{\left(x-12.5\right)}^2+312.5$

因为二次项系数 $-2<0$，抛物线开口向下。 当 $x=12.5$ 时，$S$ 取最大值。

• 第四步：求长和最大面积
• 定义域：$12.5\in (0,25)$，符合题意。
• 长：将 $x=12.5$ 代入 ①： $y=50-2\times 12.5=50-25=25\text{ 米}$
• 最大面积： $S_{\text{max}}=312.5\text{ 平方米}$

所以，当矩形储料场的长为 25 米、宽为 12.5 米时，面积最大，最大面积是 312.5 平方米。

证明：

• 第一步：连辅助线，构造等腰三角形 设直径 $AB$ 与直径 $DE$ 的交点为圆心 $O$，连结 $OC$。

因为 $O$ 是圆心，$OA$ 与 $OC$ 均为半径： $OA=OC$

在 $△OAC$ 中，由等边对等角： $\angle A=\angle OCA\text{(1)}$

• 第二步：利用平行线性质 因为 $AC\parallel DE$，

• 直线 $AC,DE$ 被截线 $AB$ 所截，由同位角相等： $\angle A=\angle EOB\text{(2)}$

• 直线 $AC,DE$ 被截线 $OC$ 所截，由内错角相等： $\angle OCA=\angle COE\text{(3)}$

• 第三步：等量代换 由 ①、③ 得： $\angle A=\angle COE\text{(4)}$

由 ②、④ 得： $\angle COE=\angle EOB$

• 第四步：由圆心角到弧、弦 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等： $\text{overparen}CE=\text{overparen}EB$

相等的弧所对的弦相等： $CE=EB$

原命题得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：靠墙矩形的周长关系（$2x+y$）、二次函数配方求最值、实际问题中定义域的确定。
2. 核心方法：设元函数建模法、配方法。
3. 避坑指南：

• 错套四周围栏的周长公式：不能套 $2(x+y)=50$。本题靠墙，铁丝网只围三边，应为 $2x+y=50$。做题前先看清是四周全围还是单侧靠墙。

• 作答不完整：题目要求长、宽、最大面积三个量，都要写出来。

1. 核心考点：半径相等构造等腰三角形、平行线的同位角与内错角、圆心角—弧—弦的关系。
2. 核心方法：辅助线转化法。
3. 避坑指南：

• 盲目连线：有的同学连 $BC$ 或 $AE$，会使证明变复杂。涉及圆中弦相等、弧相等的证明，宜连半径，把问题转化为圆心角或等腰三角形来处理。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1977 年天津卷第 2 题，考查二次函数最值的实际应用，以及圆中弧与弦相等关系的证明。

2. 结论推广：铁丝网总长 $L$ 靠墙围矩形，设宽为 $x$，则长 $y=L-2x$，面积 $S=x(L-2x)$，当 $x=\frac{L}{4}$ 时面积最大，此时 $y=\frac{L}{2}=2x$，最大面积为 $\frac{L^2}{8}$。本题 $L=50$，得宽 $12.5$、长 $25$、最大面积 $312.5$。

3. 试题探源：本题为 1977 年天津卷第 2 题，考查圆中平行弦的性质。

4. 结论推广：在同圆中，平行弦所夹的弧相等（平行弦夹等弧定理）。本题由 $AC\parallel DE$ 及半径构造的等腰三角形，推出圆心角相等，从而弧相等、弦相等。

🔗【关联脉络】

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