1977-天津-01 解-分式的有意义条件

本题导读

本题考查分式的基本性质、利用函数单调性比较大小、三角与对数运算以及分式方程的解法。

📌【题干】

Question

（1977年天津卷） (1) 在什么条件下， $fracy2x$ ① 是正数； ② 是负数； ③ 等于零； ④ 没有意义？ (2) 比较下列各组数的大小，并说明理由. ① $cos31^{\circ }$ 与 $cos30^{\circ }$. ② $lo{g}_{2}1$ 与 $lo{g}_2\frac{1}{4}$. (3) 求值： ① $tan\left(5\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$. ② $(-2{)}^0\times (0.01{)}^{\frac{1}{2}}$. (4) 计算：$lg12.5-\lg \frac{5}{8}+\lg \sin 30^{\circ }$. (5) 解方程：$frac4x{x}^2-4-\frac{2}{x-2}=1-\frac{1}{x+2}$.

🔍【思路分析】

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1. 分式有意义的条件：分母不能为零，此处分母为 $2x$，故 $2x\ne 0$，即 $x\ne 0$。
2. 分析正负号：

• 分式为正，分子与分母同号；
• 分式为负，分子与分母异号。

3. 分式等于零的条件：在分母不为零的前提下，分子等于零。
4. 分式无意义的条件：分母等于零。
5. 第①问（余弦函数单调性）：

• $30^{\circ }$ 和 $31^{\circ }$ 都在区间 $[0^{\circ },180^{\circ }]$ 内。
• $y=\cos x$ 在该区间上单调递减，据此可判定大小。

2. 第②问（对数函数性质）：

• 方法一（单调性法）：底数 $a=2>1$，$y={\log }_{2}x$ 在 $(0,+\infty )$ 内单调递增。
• 方法二（计算法）：两项都可化为具体常数，直接比较。

1. 第①问（反三角与三角混合）：

• 先求 $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$。由反正弦主值区间 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$，得 $\frac{\pi }{3}$。
• 代入乘 5，得 $\tan \frac{5\pi }{3}$。
• 用正切函数的周期性或诱导公式，化为锐角求值。

2. 第②问（指数幂运算）：

• 第一项：非零实数的零次幂等于 1。
• 第二项：$0.01=0.1^2$，$\frac{1}{2}$ 次幂即开平方。

1. 代入特殊角函数值：$\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$。
2. 真数化为分数：$12.5=\frac{25}{2}$。
3. 用对数运算法则合并：$\lg A-\lg B+\lg C=\lg \frac{A\cdot C}{B}$。
4. 约分求值：合并后的真数约分，化为 10 的整数次幂。
5. 确定最简公分母：$x^2-4=(x-2)(x+2)$，最简公分母为 $(x-2)(x+2)$。
6. 确定定义域：$x\ne 2$ 且 $x\ne -2$。
7. 去分母：两边同乘最简公分母，化为整式方程。
8. 解方程并验根：解出根后代入最简公分母检验，舍去增根。

✅【答案】

Success

$x=1$

✍【详细解析】

Abstract

对第 (1) 题的四种情况分别讨论：

① 是正数的条件

要使分式 $\frac{y}{2x}>0$，分子 $y$ 与分母 $2x$ 必须同号（且分母不为 0）。

• 当 $x>0$ 时，分母 $2x>0$，此时必须 $y>0$；
• 当 $x<0$ 时，分母 $2x<0$，此时必须 $y<0$。 即： $x\cdot y>0(\text{或 }x,y\text{ 同号且 }x\ne 0)$

② 是负数的条件

要使分式 $\frac{y}{2x}<0$，分子 $y$ 与分母 $2x$ 必须异号。

• 当 $x>0$ 时，分母 $2x>0$，此时必须 $y<0$；
• 当 $x<0$ 时，分母 $2x<0$，此时必须 $y>0$。 即： $x\cdot y<0(\text{或 }x,y\text{ 异号})$

③ 等于零的条件

要使分式 $\frac{y}{2x}=0$，须分子为零且分母不为零： $\{\begin{array}{l}y=0\\ 2x\ne 0\end{array}⟹y=0\text{ 且 }x\ne 0$

④ 没有意义的条件

分母为零时分式无意义： $2x=0⟹x=0(y\text{ 可为任意实数})$

① $\cos 31^{\circ }$ 与 $\cos 30^{\circ }$ 的大小比较：

结论： $\cos 31^{\circ }<\cos 30^{\circ }$ 理由： 函数 $y=\cos x$ 在区间 $[0^{\circ },180^{\circ }]$ 内单调递减。 因为： $0^{\circ }<30^{\circ }<31^{\circ }<180^{\circ }$ 由单调递减函数的定义，可得： $\cos 31^{\circ }<\cos 30^{\circ }$

② ${\log }_{2}1$ 与 ${\log }_2\frac{1}{4}$ 的大小比较：

结论： ${\log }_{2}1>{\log }_2\frac{1}{4}$ 理由一（直接计算）： ${\log }_{2}1=0$ 又 $\frac{1}{4}=4^{-1}=(2^2{)}^{-1}=2^{-2}$，故： ${\log }_2\frac{1}{4}={\log }_2(2^{-2})=-2$ 因为 $0>-2$，所以： ${\log }_{2}1>{\log }_2\frac{1}{4}$ 理由二（利用单调性）： 对数函数 $y={\log }_{2}x$ 的底数 $a=2>1$，在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。 因为： $1>\frac{1}{4}>0$ 由单调递增函数的定义，得： ${\log }_{2}1>{\log }_2\frac{1}{4}$

① $\tan \left(5\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ 的计算：

• 第一步：求反正弦特殊角 设 $\theta =\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$，则 $\sin \theta =\frac{\sqrt{3}}{2}$ 且 $\theta \in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$。 得： $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{3}(\text{或 }60^{\circ })$
• 第二步：代回并化简 $\text{原式}=\tan \left(5\times \frac{\pi }{3}\right)=\tan \frac{5\pi }{3}$ 正切函数 $y=\tan x$ 的最小正周期为 $\pi$，减去 $2\pi$： $\tan \frac{5\pi }{3}=\tan \left(\frac{5\pi }{3}-2\pi \right)=\tan \left(-\frac{\pi }{3}\right)$ 由 $\tan (-x)=-\tan x$： $\tan \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\tan \frac{\pi }{3}$ 又 $\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$，所以： $\text{原式}=-\sqrt{3}$

---

② $(-2{)}^0\times (0.01{)}^{\frac{1}{2}}$ 的计算：

• 第一步：化简零指数幂 非零实数的零次方等于 1： $(-2{)}^0=1$
• 第二步：化简分数指数幂 $0.01=0.1^2$，由 ${\left(a^m\right)}^n=a^{mn}$： $(0.01{)}^{\frac{1}{2}}={\left(0.1^2\right)}^{\frac{1}{2}}=0.1^{2\times \frac{1}{2}}=0.1^1=0.1\left(\text{或 }\frac{1}{10}\right)$
• 第三步：相乘 $\text{原式}=1\times 0.1=0.1\left(\text{或 }\frac{1}{10}\right)$
• 第一步：代入特殊值 $12.5=\frac{25}{2}$ 又 $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$，代入原式： $\text{原式}=\lg \frac{25}{2}-\lg \frac{5}{8}+\lg \frac{1}{2}$
• 第二步：合并为单项对数 由 $\lg M+\lg N=\lg (M\cdot N)$ 及 $\lg M-\lg N=\lg \frac{M}{N}$： $\text{原式}=\lg \left(\frac{25}{2}÷\frac{5}{8}\times \frac{1}{2}\right)$ $\text{原式}=\lg \left(\frac{25}{2}\times \frac{8}{5}\times \frac{1}{2}\right)$
• 第三步：约分 分母： $2\times 5\times 2=20$ 分子： $25\times 8\times 1=200$ 真数： $\frac{200}{20}=10$ 所以： $\text{原式}=\lg 10$
• 第四步：求值 常用对数以 10 为底，故： $\lg 10=1$ 所以，最终计算结果为： $1$
• 第一步：因式分解分母，确定最简公分母 由平方差公式： $x^2-4=(x-2)(x+2)$ 最简公分母为： $(x-2)(x+2)$ 且须满足： $x\ne \pm 2\text{(1)}$
• 第二步：去分母，化分式方程为整式方程 两边同乘 $(x-2)(x+2)$： $4x-2(x+2)=(x-2)(x+2)-1(x-2)$
• 第三步：展开、移项、化简 左端： $4x-2x-4=2x-4$ 右端： $\left(x^2-4\right)-(x-2)=x^2-4-x+2=x^2-x-2$ 于是： $2x-4=x^2-x-2$ 移项合并： $x^2-x-2-(2x-4)=0$ $x^2-3x+2=0$
• 第四步：十字相乘求解 $(x-1)(x-2)=0$ 得： $x_1=1,x_2=2$
• 第五步：验根
• 当 $x=1$ 时，最简公分母 $(1-2)(1+2)=-3\ne 0$，故 $x=1$ 是原方程的根。
• 当 $x=2$ 时，最简公分母 $(2-2)(2+2)=0$，分母为零，故 $x=2$ 是增根，舍去。 所以，原方程的解为： $x=1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分母非零、分式正负号与分子分母同号异号的关系、分式为零的条件。
2. 核心方法：分类讨论法。
3. 避坑指南：

• 第③问漏掉分母约束：回答”等于零”时不能只写 $y=0$。当 $y=0$ 且 $x=0$ 时，式子为 $\frac{0}{0}$ 型，没有意义，不等于零。须补写 $x\ne 0$。
• 表达不够严密：第①②问可写”$x,y$ 同号”，也可写 $xy>0$，但写成 $\frac{y}{x}>0$ 不够规范。

1. 核心考点：余弦函数在 $[0^{\circ },180^{\circ }]$ 上单调递减、底数大于 1 时对数函数单调递增、特殊对数值。
2. 核心方法：单调性判定法。
3. 避坑指南：

• 正、余弦单调性混淆：在 $[0,90^{\circ }]$ 内，$y=\sin x$ 是增函数，$y=\cos x$ 是减函数。若记混，会误判 $\cos 31^{\circ }>\cos 30^{\circ }$。
• 漏写理由：题目要求”并说明理由”，只写结果不写依据会失分。

1. 核心考点：反正弦主值区间、正切函数的周期性与奇偶性、零指数幂与分数指数幂的运算。
2. 核心方法：特殊值代换法、公式法。
3. 避坑指南：

• 反三角多值性：满足 $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的角有无数个，但 $\arcsin x$ 是单值函数，取值在主值区间 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ 内，这里取 $\frac{\pi }{3}$。
• 底数负号误判：$(-2{)}^0=1$，注意括号包含负号，与 $-2^0=-1$ 不同。

1. 核心考点：对数运算法则的合并、特殊角三角函数值。
2. 核心方法：对数运算法则合并法。
3. 避坑指南：

• 真数直接相加减：不能写成 $\lg \left(12.5-\frac{5}{8}+\sin 30^{\circ }\right)$。对数符号外的加减须通过运算法则转化为真数的乘除。
• 除法化乘法时忘记取倒数：$-\lg \frac{5}{8}$ 应化为 $+\lg \frac{8}{5}$，别漏掉分子分母颠倒。

1. 核心考点：平方差公式分解、分式方程去分母、增根检验。
2. 核心方法：去分母整式化法。
3. 避坑指南：

• 漏掉验根导致多解：去分母时两端同乘的整式可能为零，会扩大取值范围，故解出的根必须验根。$x=2$ 使分母为零，是增根，应舍去。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1977 年天津卷第 1 题，考查分式的基本性质。
2. 结论推广：对分式 $F(x,y)=\frac{f(y)}{g(x)}$，有 $\begin{array}{rl}F(x,y)>0& ⟺f(y)\cdot g(x)>0\\ F(x,y)<0& ⟺f(y)\cdot g(x)<0\\ F(x,y)=0& ⟺f(y)=0\text{且}g(x)\ne 0\\ F(x,y)\text{ 无意义}& ⟺g(x)=0\end{array}$ 判断分式的符号与取值，须始终先确定分母不为零。
3. 试题探源：本题为 1977 年天津卷第 1 题，考查利用函数单调性比较大小。
4. 结论推广：比较 $f(x_1)$ 与 $f(x_2)$ 的大小，可利用函数的单调性：若在包含 $x_1,x_2$ 的区间内 $f^{\prime }(x)<0$，则当 $x_1>x_2$ 时 $f(x_1)<f(x_2)$；若 $f^{\prime }(x)>0$，则当 $x_1>x_2$ 时 $f(x_1)>f(x_2)$。
5. 试题探源：本题为 1977 年天津卷第 1 题，考查反三角函数求值与指数幂运算。
6. 结论推广：求 $\tan \left[n\cdot \arcsin x\right]$ 一类式子的值，先由反正弦主值区间确定 $\arcsin x$，再代入并用正切函数的周期性、诱导公式化简为特殊角。同时注意零指数幂 $a^0=1$（$a\ne 0$）与分数指数幂的意义。
7. 试题探源：本题为 1977 年天津卷第 1 题，考查对数运算法则。
8. 结论推广：对 $\lg A-\lg B+\lg C$，可合并为 $\lg \left(\frac{A\cdot C}{B}\right)$；若真数化简后为 $10^k$（$k\in \mathbb{Z}$），则结果等于 $k$。本题约分得真数 $10$，故结果为 $1$。
9. 试题探源：本题为 1977 年天津卷第 1 题，考查分式方程的解法与增根检验。
10. 结论推广：解分式方程，先用最简公分母去分母化为整式方程求解，再把所得根代入最简公分母检验，舍去使分母为零的增根。

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