1977-吉林-13 解-导数运算

本题导读

本题考查导数运算（参考题）。核心在于幂函数、对数函数求导及 $x^x$ 型的对数求导法。

📌【题干】

Question

（1977年吉林卷） 试求下列各式的导数： (1)$y=3x^2+\sqrt{x}+5$；

(2)$y=\ln (x^{10})+\ln (\ln x)$；

(3)$y=x^x$.

🔍【思路分析】

破题导航

(1)幂函数求导；(2)先化简 $\ln (x^{10})=10\ln x$ 再求导；(3)$x^x=e^{x\ln x}$ 或用 $(u^v{)}^{\prime }$ 公式。

✅【答案】

Success

(1)$y^{\prime }=6x+\frac{1}{2\sqrt{x}}$(2)$y^{\prime }=\frac{10}{x}+\frac{1}{x\ln x}$(3)$y^{\prime }=x^x(1+\ln x)$

✍【详细解析】

Abstract

(1)$y^{\prime }=6x+\frac{1}{2\sqrt{x}}=6x+\frac{\sqrt{x}}{2x}$。 (2)$y^{\prime }=\frac{10x^9}{x^{10}}+\frac{1}{x\ln x}=\frac{10}{x}+\frac{1}{x\ln x}$。 (3)$y^{\prime }=x\cdot x^{x-1}+x^x\ln x=x^x(1+\ln x)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数运算

核心方法：求导法则

避坑指南：幂、对数函数求导；$x^x$ 用对数求导法

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：导数

结论推广：$y^{\prime }=x^x(1+\ln x)$ 等

方法推广：对数求导法

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.02 基本初等函数导数公式与运算法则

类题演练 (Links)

• 1977-山西-09 解-导数运算
• 2010-江西卷文-04 单-导数运算与奇偶性