1977-北京理-12 解-函数在一点连续的定义

本题导读

本题考查函数在一点连续的定义。

📌【题干】

Question

（1977年北京卷(理)） 附加题 12. (1)试用 $ϵ-\delta$ 语言叙述“函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处连续”的定义. (2)试证明：若 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处连续，且 $f(x_0)>0$，则存在一个 $x_0$ 的邻域 $(x_0-\delta ,x_0+\delta )$，在这个邻域内，处处有 $f(x)>0$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问严格叙述连续性的 $ϵ-\delta$ 定义：

• 函数在一点连续的本质是当自变量趋近于 $x_0$ 时，函数值趋近于 $f(x_0)$，即 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。
• 用 $ϵ-\delta$ 语言将其翻译为：对于任意给定的正数 $ϵ$，总能找到一个正数 $\delta$，使得只要自变量 $x$ 满足 $|x-x_0|<\delta$，对应的函数值偏差就满足 $|f(x)-f(x_0)|<ϵ$。注意，这里无需满足 $x\ne x_0$，因为 $x=x_0$ 时绝对值差为 0 成立。

2. 第二问证明局部保号性（特殊值赋值法）：

• 已知 $f(x_0)>0$，我们希望在这个邻域内 $f(x)$ 也能被强行卡在 0 的上方。

• 利用第一问给出的定义，定义中的 $ϵ$ 具有“任意性”。既然对“任意”的 $ϵ>0$ 都成立，我们就可以通过巧设一个特殊的 $ϵ$ 值（赋值法）来构建不等式链。

• 设 $ϵ=\frac{f(x_0)}{2}$（或者任意满足 $0<ϵ\le f(x_0)$ 的常数），此时 $ϵ$ 必然是一个确定的正数。

• 代入连续性定义，必然“存在”对应的 $\delta >0$，使得当 $x\in (x_0-\delta ,x_0+\delta )$ 时， $|f(x)-f(x_0)|<\frac{f(x_0)}{2}$。

• 去掉绝对值展开为双向不等式，即可直接证明其下界严格大于 0。

✅【答案】

Success

（证明，详见解析）

✍【详细解析】

Abstract

(1)试用 $ϵ-\delta$ 语言叙述“函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处连续”的定义

定义叙述如下： 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义。如果对于任意给定的正数 $ϵ>0$，总存在一个正数 $\delta >0$，使得对于满足不等式： $|x-x_0|<\delta$ 的一切 $x$，对应的函数值恒满足： $|f(x)-f(x_0)|<ϵ$

则称函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处连续。

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(2)证明：若 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处连续，且 $f(x_0)>0$，则存在一个 $x_0$ 的邻域 $(x_0-\delta ,x_0+\delta )$，在这个邻域内，处处有 $f(x)>0$

证明如下：

因为 已知函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处连续， 所以 根据(1)中连续性的 $ϵ-\delta$ 定义，对于任意给定的正数 $ϵ>0$，总存在一个正数 $\delta >0$，使得当 $|x-x_0|<\delta$ 时，恒有： $|f(x)-f(x_0)|<ϵ\text{(1)}$

因为 题目已知 $f(x_0)>0$，根据定义中 $ϵ$ 的任意性，我们可以取一个特殊的正数： ${ϵ}_0=\frac{f(x_0)}{2}>0$

将此特异性的 ${ϵ}_0$ 代入定义中，则必然存在一个对应的正数 $\delta >0$，使得当 $x\in (x_0-\delta ,x_0+\delta )$（即 $|x-x_0|<\delta$）时，恒有： $\left|f(x)-f(x_0)\right|<\frac{f(x_0)}{2}$

将此绝对值不等式展开，去绝对值符号转化为普通的双向不等式： $-\frac{f(x_0)}{2}<f(x)-f(x_0)<\frac{f(x_0)}{2}$

我们聚焦于左侧的不等式： $f(x)-f(x_0)>-\frac{f(x_0)}{2}$

利用移项法则，将 $-f(x_0)$ 移至不等式右端： $f(x)>f(x_0)-\frac{f(x_0)}{2}$ $f(x)>\frac{f(x_0)}{2}$

因为 已知 $f(x_0)>0$，所以明显有 $\frac{f(x_0)}{2}>0$。 由此可得，在此特定邻域内恒满足： $f(x)>0$

综上所述，若 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处连续且 $f(x_0)>0$，则存在一个 $x_0$ 的邻域 $(x_0-\delta ,x_0+\delta )$，在这个邻域内，处处有 $f(x)>0$.

证毕。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：柯西极限理论体系的 $ϵ-\delta$ 逻辑架构、绝对值三角不等式的展开变形、保号性定理的证明。
2. 核心方法：特殊值赋值证明法。
3. 避坑指南：

• 第一问严重雷区（漏加或多加约束）：在书写连续的定义时，绝对不能在自变量范围中加上“ $0<|x-x_0|$ ”。如果是求极限 ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=L$，由于极限过程不考虑原点本身，必须要求 $0<|x-x_0|$（去心邻域）；但连续性必须考虑原点本身，当 $x=x_0$ 时， $|f(x_0)-f(x_0)|=0<ϵ$ 成立，因此连续性的定义必须是全邻域 $|x-x_0|<\delta$。

• 第二问证明时，必须明确写出“取 $ϵ=\frac{f(x_0)}{2}$”这一赋值过程，这是整个严格分析学逻辑闭环的灵魂所在。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于数学分析（高等数学）中关于连续函数局部性质的经典核心公理化定理。局部保号性是微积分极限大厦的理论奠基性质之一，由分析学之父——柯西（Cauchy）等数学家在 19 世纪逐步完善。
2. 结论推广: 本题结论可一般化推广为双向局部保号性定理（Local Sign-Preserving Theorem）： 若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，且 $f(x_0)\ne 0$，则必然存在 $x_0$ 的某个全邻域 $U(x_0,\delta )$，使得在此邻域内，任意自变量的函数值 $f(x)$ 与中心点的值 $f(x_0)$ 同号（即 $f(x)\cdot f(x_0)>0$）。 该定理在高等数学中应用极广，它是零点存在性定理（介值定理）的底层数理根基，同时在利用二阶导数符号判定函数极值点（若 $f^{\prime \prime }(x_0)<0$ 则必定局部为极大值）的严格证明中，起到了决定性的中介桥梁作用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

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