本题导读
本题考查直线与椭圆的位置关系。
📌【题干】
Question
（1977年北京卷(理)） 当 取哪些值时，直线 与椭圆 有一个交点？有两个交点？没有交点？当它们有一个交点时，画出它的图象.
🔍【思路分析】
破题导航
- 联立方程消元：将直线方程 代入椭圆方程 中，消去未知数 ，整理成关于 的一元二次方程的标准形式 。
- 利用判别式判定位形关系：
- 有一个交点（相切） ，解出临界常数 。
- 有两个交点（相交） ，解出 的区间。
- 没有交点（相离） ，解出 的区间。
- 确定切点并画图：
将相切时的临界值 分别代入消元后的方程，求出对应的切点坐标。
绘制标准椭圆（长半轴 ，短半轴 ），并精确画出斜率为 1 且纵截距为 的两条平行切线。
✅【答案】
Success
当 时有一个交点；当 时有两个交点；当 或 时没有交点.图象见解析
✍【详细解析】
Abstract
第一步：联立方程并去分母化简
将直线方程 代入椭圆方程 中，得：
两边同时乘以公分母 144 以消除分母：
展开完全平方式并合并同类项：
这是一项关于 的标准一元二次方程，其中系数分别为：
第二步：计算判别式 并分类讨论
计算该方程的根的判别式 ：
根据直线与椭圆的交点个数与判别式符号的对应关系，分三种情况讨论：
(1)有一个交点时（直线与椭圆相切）：
(2)有两个交点时（直线与椭圆相交）：
(3)没有交点时（直线与椭圆相离）：
第三步：当有一个交点时，确定切点并画出图象
当直线与椭圆有一个交点时， 或 。
当 时，直线方程为 。 代入一元二次方程 。 代入直线求得 。切点坐标为 。
当 时，直线方程为 。 同理可得 。 代入直线求得 。切点坐标为 。
在直角坐标系中，椭圆的长半轴 （横截距 ），短半轴 （纵截距 ）。 画出标准椭圆后，分别画出纵截距为 和 且斜率为 的两条平行切线：
故答案为： 当 时有一个交点；当 时有两个交点；当 或 时没有交点。图象见解析。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：联立多元方程去分母的代数基本功、弦切离三种拓扑形貌与 区间的代数映射。
- 核心方法：判别式控制法、坐标代入消元法。
- 避坑指南：
最易错点（计算失误）：在展开 时，由于数字较大（如 ），极易因粗错系数。可以提前提取公因式进行缩减计算。
解出 时，写区间切勿盲目连写成 这种逻辑错误的式子，必须严格分写为 。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源: 本题源于平面解析几何中关于直线与圆锥曲线位置关系的经典教材大题。它是解析几何解析联立方法的绝对核心母题，旨在建立几何图形相切与代数方程重根之间的同解桥梁。
- 结论推广: 本题模型属于标准的圆锥曲线平行切线束（弦切守恒）模型。 一般化推广：对于任意标准椭圆 ，给定斜率为 的直线系 ，其与椭圆相切（即保持唯一交点）的临界纵截距 恒满足下列优美的椭圆切线判别全能公式： 在本题中， （因为直线为 ）。直接套用此推广模型，临界值 。掌握此顶层公式，在面对任何选择、填空题时，均可无需进行复杂的联立求导与判别式展开，实现 1 秒钟。
🔗【关联脉络】
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