1977-北京理-08 解-解三角形的应用

本题导读

本题考查解三角形的应用。

📌【题干】

Question

（1977年北京卷(理)） 一只船以 20 海里/小时的速度向正东航行，起初船在 $A$ 处看见一灯塔 $B$ 在船的北 $45^{\circ }$ 东方向，一小时后船在 $C$ 处看见这个灯塔在船的北 $15^{\circ }$ 东方向，求这时船和灯塔的距离 $CB$.

🔍【思路分析】

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1. 依题意作图建模：

• 船由 $A$ 向正东航行到 $C$，则直线 $AC$ 方向为正东。
• 在 $A$ 处，北偏东 $45^{\circ }$ 意味着 $\angle MAB=45^{\circ }$（ $AM$ 为正北方向），由于 $AC$ 是正东，所以 $\angle BAC=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$。
• 在 $C$ 处，北偏东 $15^{\circ }$ 轴对称可知 $\angle NCB=15^{\circ }$（ $CN$ 为正北方向）。因为 $CN\parallel AM$ 且都垂直于正东航线 $AC$，所以外角 $\angle NCB=15^{\circ }$ 表明三角形内角 $\angle ACB=90^{\circ }+15^{\circ }=105^{\circ }$。

2. 计算已知边长与内角：

• 航行时间 1 小时，速度 20 海里/小时，所以线段 $AC=20\times 1=20$ 海里。
• 利用三角形内角和定理求出最后一个内角： $\angle ABC=180^{\circ }-45^{\circ }-105^{\circ }=30^{\circ }$。

3. 利用正弦定理求解 $CB$：

• 在 $△ABC$ 中，已知边 $AC=20$，及其对角 $\angle ABC=30^{\circ }$，要求边 $CB$，其对角为 $\angle BAC=45^{\circ }$。直接套用正弦定理 $\frac{CB}{\sin \angle BAC}=\frac{AC}{\sin \angle ABC}$ 即可求解。

✅【答案】

Success

答：这时船和灯塔的距离 $CB$ 为 $20\sqrt{2}$ 海里

✍【详细解析】

Abstract

根据题意，画出航线与灯塔的位置关系示意图：

• 第一步：转化图形中的边长与内角 因为 船从 $A$ 航行到 $C$ 用时 1 小时，速度为 20 海里/小时， 所以 航行距离为： $AC=20\times 1=20\text{ (海里)}$

过点 $A$ 作正北方向射线 $AM$，过点 $C$ 作正北方向射线 $CN$，则 $AM\parallel CN\perp AC$。

• 在 $A$ 处，灯塔 $B$ 在北偏东 $45^{\circ }$ 方向，即 $\angle AMB=45^{\circ }$（此处写错，应为 $\angle MAB=45^{\circ }$）。 由于 $\angle MAC=90^{\circ }$，所以 $△ABC$ 的内角： $\angle BAC=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$
• 在 $C$ 处，灯塔 $B$ 在北偏东 $15^{\circ }$ 方向，即 $\angle NCB=15^{\circ }$。 由于 $\angle NCA=90^{\circ }$，所以 $△ABC$ 的内角： $\angle ACB=90^{\circ }+15^{\circ }=105^{\circ }$

在 $△ABC$ 中，根据三角形内角和定理，求得灯塔处的内角 $\angle ABC$ 为： $\angle ABC=180^{\circ }-\angle BAC-\angle ACB=180^{\circ }-45^{\circ }-105^{\circ }=30^{\circ }$

• 第二步：利用正弦定理求距离 $CB$ 在 $△ABC$ 中，由正弦定理满足： $\frac{CB}{\sin \angle BAC}=\frac{AC}{\sin \angle ABC}$

将已知的数据 $AC=20$、 $\angle BAC=45^{\circ }$、 $\angle ABC=30^{\circ }$ 代入上式： $\frac{CB}{\sin 45^{\circ }}=\frac{20}{\sin 30^{\circ }}$

两边同乘 $\sin 45^{\circ }$ 显性表达 $CB$： $CB=\frac{20\times \sin 45^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}$

代入三角函数的特殊值 $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$， $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$： $CB=\frac{20\times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=20\sqrt{2}\text{ (海里)}$

答：这时船和灯塔的距离 $CB$ 为 $20\sqrt{2}$ 海里。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：方位角在直角系坐标方位中的度数换算、正弦定理在“已知两角及一边”构型中的直接应用。
2. 核心方法：数形结合法、正弦定理边角转换法。
3. 避坑指南：

• 最易错点（方位角看错）：容易把“北偏东 $15^{\circ }$”错误地当成 $△ABC$ 的内角就是 $15^{\circ }$ 或 $90^{\circ }-15^{\circ }=75^{\circ }$。必须通过作正北方向的平行参考线，严谨判定其内角为钝角 $90^{\circ }+15^{\circ }=105^{\circ }$。

• 最终作答时，注意带上物理单位“海里”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于高中数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》中解三角形实际应用题的经典主干基础课后习题。方位角与航海模型是正余弦定理考查中最经典的物理载体。
2. 结论推广: 本题模型属于标准的正东航线特殊角拦截模型。可一般化推广为：若船向正东航行，在 $A$ 处测得目标在北偏东 $\alpha$ 方向，航行距离 $L$ 后在 $C$ 处测得目标在北偏东 $\beta$ 方向（其中 $\alpha >\beta$），则此时船与目标的距离 $CB$ 通项公式为： $CB=\frac{L\cdot \cos \alpha }{\sin (\alpha -\beta )}$ 在本题中， $L=20,\alpha =45^{\circ },\beta =15^{\circ }$，代入直接得到 $CB=\frac{20\times \cos 45^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=\frac{20\times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=20\sqrt{2}$。该通项公式省去了中间求钝角 $105^{\circ }$ 以及利用内角和求 $30^{\circ }$ 的步骤，在处理同类小题时具有极佳的瞬时口算价值。

🔗【关联脉络】

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• 11.01 正弦定理

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