1977-北京理-07 解-二次函数的图象与性质

本题导读

本题考查二次函数的图象与性质。

📌【题干】

Question

（1977年北京卷(理)） 已知二次函数 $y=x^2-6x+5$. (1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程； (2)画出它的图象； (3)分别求出它的图象和 $x$ 轴、 $y$ 轴的交点坐标.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问求顶点与对称轴（配方法/公式法）：

• 采用配方法，将二次函数的一般式 $y=a{x}^2+bx+c$ 化为顶点式 $y=a(x-h{)}^2+k$。
• 由顶点式可直接读取顶点坐标 $(h,k)$ 与对称轴方程 $x=h$。亦可直接套用顶点公式 $\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$。

2. 第三问求解与坐标轴交点（交点代数法）：

• 与 $y$ 轴交点：令 $x=0$，代入解析式求出对应的 $y$ 值。
• 与 $x$ 轴交点：令 $y=0$，转化为求一元二次方程 $x^2-6x+5=0$ 的根。

3. 第二问描点连线作图：

• 综合(1)、(3)中求得的五个关键特异性特征点：顶点、与 $y$ 轴交点及其关于对称轴的对称点、与 $x$ 轴的两个交点。

• 在直角坐标系中精确卡位，用平滑的抛物线顺次连接。

✅【答案】

Success

(3)与 $x$ 轴交点为 $(1,0),(5,0)$，与 $y$ 轴交点为 $(0,5)$

✍【详细解析】

Abstract

(1)求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程

将二次函数的一般式进行配方： $y=x^2-6x+5$ $y=(x^2-6x+9)-9+5$ $y=(x-3{)}^2-4$

根据二次函数顶点式的几何性质，可以直接读取关键特征量：

• 顶点坐标为： $(3,-4)$
• 对称轴方程为直线： $x=3$

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(3)分别求出它的图象和 $x$ 轴、 $y$ 轴的交点坐标

为了方便第二问连线画图，优先完成第(3)问的交点坐标计算：

• 与 $y$ 轴的交点坐标： 令 $x=0$，代入原方程： $y=0^2-6\times 0+5=5$ 所以，与 $y$ 轴的交点坐标为： $(0,5)$

• 与 $x$ 轴的交点坐标： 令 $y=0$，得到关于 $x$ 的一元二次方程： $x^2-6x+5=0$ 利用十字相乘法进行因式分解： $(x-1)(x-5)=0⟹x_1=1,x_2=5$ 所以，与 $x$ 轴的两个交点坐标分别为： $(1,0)\text{和}(5,0)$

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(2)画出它的图象

依据上述求得的特征参数，选取五个核心特征点（五点作图法）在坐标系中进行排布：

1. 顶点: $(3,-4)$
2. 与 $x$ 轴交点: $(1,0)$ 和 $(5,0)$
3. 与 $y$ 轴交点: $(0,5)$
4. 依据轴对称性（关于 $x=3$ 对称）补充特征点: $(6,5)$

在平面直角坐标系中，用平滑的抛物线顺次连接这五个点，即可画出完整的函数图象：

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故答案为： (1)顶点坐标为 $(3,-4)$，对称轴方程为 $x=3$； (2)图象见解析； (3)与 $x$ 轴交点为 $(1,0),(5,0)$，与 $y$ 轴交点为 $(0,5)$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：一般式向顶点式的配方转化、利用坐标归零法求解截距交点、抛物线基本形貌的五点绘制法。
2. 核心方法：配方法、五点作图法。
3. 避坑指南：

• 最易错点（写方程漏变量）：在书写对称轴方程时，很多同学直接写成一个孤立的数字“3”，这是不符合数学规范的。对称轴是一条垂直于 $x$ 轴的空间直线，必须写成完整的直线方程形式 $x=3$。

• 书写“交点坐标”时，必须写成标准的有序实数对形式 $(x,y)$，切忌口语化写成“交点是 5”或“交点是 1 和 5”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于初等代数中关于二次函数的核心主干基础教材习题。它是整个初高中数学函数图象学习的绝对根基，旨在考查学生数形结合与坐标转化的基础功底。
2. 结论推广: 本题模型属于经典的抛物线轴线割补几何模型。对于任意标准二次函数 $y=a(x-h{)}^2+k$，其与 $x$ 轴两交点之间的距离（即弦长）恒满足： $L=|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{|a|}=2\sqrt{-\frac{k}{a}}$ 在本题中， $a=1,k=-4$，代入可得两交点弦长 $L=2\sqrt{-\frac{-4}{1}}=4$。由对称轴 $x=3$ 向左右各平移 $\frac{L}{2}=2$ 个单位长度，可直接秒出与 $x$ 轴的两个交点分别为 $3-2=1$ 和 $3+2=5$。掌握该守恒几何模型，可将复杂的因式分解转化为简单的线段割补位移。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)