1977-北京理-05 解-两直线的交点坐标

本题导读

本题考查两直线的交点坐标。

📌【题干】

Question

（1977年北京卷(理)） 求过两直线 $x+y-7=0$ 和 $3x-y-1=0$ 的交点且过 $(1,1)$ 点的直线方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一：常规交点两点式（通法）

• 求交点：将已知的两条直线方程联立，组成二元一次方程组，通过加减消元法快速解出交点坐标 $P$。
• 建立方程：已知交点 $P$ 与题目给定的已知点 $Q(1,1)$，利用两点式方程（或先求斜率再用点斜式）写出目标直线的代数方程，并化简为一般式。

2. 方法二：直线系方程法（高级高效法）

• 构造过两直线交点的直线系方程： $(x+y-7)+k(3x-y-1)=0$。

• 将点 $(1,1)$ 代入此直线系方程中，解出未知待定系数 $k$ 的值。

• 将 $k$ 反代回原式，整理合并即可直接输出目标直线方程。

✅【答案】

Success

$4x-y-3=0$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：常规联立求交点法

首先，联立两条已知直线的方程组成方程组，求解它们的交点： $\{\begin{array}{l}x+y-7=0\text{(1)}\\ 3x-y-1=0\text{(2)}\end{array}$

两式直接相加（① + ②），消去未知数 $y$： $(x+3x)+(y-y)-(7+1)=0⟹4x-8=0⟹x=2$

将 $x=2$ 代入方程①中，求出 $y$ 的值： $2+y-7=0⟹y=5$

由此得到两直线的交点坐标为： $P(2,5)$

根据题意，目标直线同时通过交点 $P(2,5)$ 和已知点 $Q(1,1)$。 利用直线的斜率公式，求出该直线的斜率 $k$： $k=\frac{5-1}{2-1}=\frac{4}{1}=4$

利用点斜式写出直线的方程，选择通过点 $(1,1)$： $y-1=4(x-1)$

展开多项式并向左移项整理为一般式方程： $y-1=4x-4⟹4x-y-3=0$

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方法二：直线系方程法

因为 目标直线经过两已知直线的交点， 所以 可设该直线系方程为（除去直线 $3x-y-1=0$）： $(x+y-7)+k(3x-y-1)=0$

因为 目标直线同样通过点 $(1,1)$，将坐标 $x=1,y=1$ 代入上述直线系方程中： $(1+1-7)+k(3\times 1-1-1)=0$ $-5+k(1)=0⟹k=5$

将 $k=5$ 代回所设的直线系方程中进行展开合并： $(x+y-7)+5(3x-y-1)=0$ $x+y-7+15x-5y-5=0$ $16x-4y-12=0$

两边同时除以常数 4 进行约分化简，得到最终的一般式直线方程： $4x-y-3=0$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二元一次方程组的加减消元、两点确定直线的解析表达、直线系思想。
2. 核心方法：联立方程消元法、直线系待定系数法。
3. 避坑指南：

• 联立消元时注意正负号。①式与②式中 $y$ 的系数互为相反数，直接相加即可消元，切勿盲目代入导致计算繁琐。

• 最终结果习惯性化简为最简的一般式方程 $Ax+By+C=0$，且确保系数 $A,B,C$ 互质（如将 $16x-4y-12=0$ 缩减为 $4x-y-3=0$），防止因未化简而被酌情扣分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于平面解析几何中关于直线与方程的核心必做教材基础题。它是高二解析几何直线位置关系学习中的标准母题，旨在考查数形结合的基本代数功底。
2. 结论推广: 本题方法二所使用的工具为标准的共点直线束（Pencil of Lines）方程模型。 一般化推广：若两已知直线方程分别为 $L_1:A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$ 和 $L_2:A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$，则所有通过这两直线交点的直线系簇均可恒等表示为： $\alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_1)+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_2)=0$ 这种不经求解交点坐标直接进行整体矩阵线性组合的代数思想，在高等几何、计算机图形学（裁剪算法）以及解析几何中处理二次曲线系（过四交点的圆锥曲线束）时，具有极其核心的顶层理论与计算价值。

🔗【关联脉络】

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