1977-北京理-03 解-常用对数的运算性质

本题导读

本题考查常用对数的运算性质。

📌【题干】

Question

（1977年北京卷(理)） 已知 $\lg 2=0.3010$， $\lg 3=0.4771$，求 $\lg \sqrt{45}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用幂的对数性质降次：将根式化为分数指数幂，即 $\lg \sqrt{45}=\lg 45^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\lg 45$。

2. 真数质因数分解：将 $45$ 拆解为已知或可求的底数乘积形式，即 $45=9\times 5=3^2\times 5$。

3. 利用关键隐藏性质转化：常用对数中没有给出 $\lg 5$ 的值，需要利用基本恒等式 $5=\frac{10}{2}$，将其转化为 $\lg 5=\lg 10-\lg 2=1-\lg 2$。

4. 代入求值：将已知数值代入线性组合中，完成四则运算。

✅【答案】

Success

$\text{原式}=0.8266$

✍【详细解析】

Abstract

原式为： $\lg \sqrt{45}$

利用对数的幂的运算性质 $\lg M^n=n\lg M$，将根号提至对数符号前方： $\lg \sqrt{45}=\lg 45^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\lg 45$

将真数 $45$ 进行因式分解，写成 $3^2\times 5$ 的形式： $\frac{1}{2}\lg 45=\frac{1}{2}\lg (3^2\times 5)$

根据积的对数性质 $\lg (M\cdot N)=\lg M+\lg N$ 展开： $\frac{1}{2}\lg (3^2\times 5)=\frac{1}{2}(\lg 3^2+\lg 5)=\frac{1}{2}(2\lg 3+\lg 5)$

在常用对数（以 10 为底的对数）中，由于 $\lg 10=1$，利用商的对数性质将 $\lg 5$ 转化为关于 $\lg 2$ 的代数式： $\lg 5=\lg \left(\frac{10}{2}\right)=\lg 10-\lg 2=1-\lg 2$

将此关系式反代回原式中，使真数全部转化为已知量 $2$ 和 $3$： $\text{原式}=\frac{1}{2}(2\lg 3+1-\lg 2)$

将已知条件 $\lg 2=0.3010$ 和 $\lg 3=0.4771$ 代入式中进行数值计算： $\text{原式}=\frac{1}{2}\times [2\times 0.4771+1-0.3010]$ $\text{原式}=\frac{1}{2}\times [0.9542+1-0.3010]$ $\text{原式}=\frac{1}{2}\times [1.9542-0.3010]$ $\text{原式}=\frac{1}{2}\times 1.6532$ $\text{原式}=0.8266$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数的性质（积的对数、商的对数、幂的对数）、常用对数的特异性数值转换。
2. 核心方法：真数因式分解法、基底转换法。
3. 避坑指南：

• 最易错点：看到题目中没有给出 $\lg 5$ 的值时陷入思维停滞。必须牢记在底数为 10 的对数体系中， $\lg 5$ 与 $\lg 2$ 互为补数，即 $\lg 5+\lg 2=1$。

• 在最后的小数四则运算时需要细心，特别是乘以 $\frac{1}{2}$ 或多位数乘法时，防止因笔误算错最后一位有效数字。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源于初等代数中关于对数运算性质的高频经典教材主干题。在没有电子计算器的时代，利用对数表及少数几个常用对数底数（如 $\lg 2,\lg 3$）来人工估算大数开根号等复杂算术，是工程计算的重要数学手段。
2. 结论推广: 本题可推广至标准的常用对数任意有理数乘积模型。若已知 $\lg 2$ 与 $\lg 3$，对于任意形式为 $N=2^{\alpha }\cdot 3^{\beta }\cdot 5^{\gamma }$ 的真数，其常用对数均可完全退化为关于已知量的线性组合表达式： $\lg N=(\alpha -\gamma )\lg 2+\beta \lg 3+\gamma$ 在本题中， $\sqrt{45}=2^0\cdot 3^1\cdot 5^{\frac{1}{2}}$，即 $\alpha =0,\beta =1,\gamma =\frac{1}{2}$。直接套用此推广模型可得 $\lg \sqrt{45}=-\frac{1}{2}\lg 2+\lg 3+\frac{1}{2}$，与上述解析化简方程完全同解。

🔗【关联脉络】

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