1977-北京理-02 解-负整数指数幂与分数指数幂

本题导读

本题考查负整数指数幂与分数指数幂。

📌【题干】

Question

（1977年北京卷(理)） 计算: $2^{-\frac{1}{2}}+\frac{2^0}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}-1}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分项化简基本项：

• 第一项 $2^{-\frac{1}{2}}$：转化为分式根式形式 $\frac{1}{\sqrt{2}}$。
• 第二项 $\frac{2^0}{\sqrt{2}}$：利用 $2^0=1$，转化为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$。

2. 分母有理化：

• 将前两项同分母相加为 $\frac{2}{\sqrt{2}}$，化简为 $\sqrt{2}$。
• 第三项 $\frac{1}{\sqrt{2}-1}$：分子分母同乘以 $\sqrt{2}+1$ 进行有理化。

3. 求和得出结果：将各部分化简结果相加，合并同类二次根式。

✅【答案】

Success

$\text{原式}=\sqrt{2}+\sqrt{2}+1=2\sqrt{2}+1$

✍【详细解析】

Abstract

原式为： $2^{-\frac{1}{2}}+\frac{2^0}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}-1}$

分别对每一项进行化简：

• 第一项：根据负分数指数幂的定义 $a^{-\frac{1}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a}}$，有： $2^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

• 第二项：根据零指数幂的性质 $a^0=1(a\ne 0)$，有： $\frac{2^0}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

• 第三项：分子、分母同乘以 $(\sqrt{2}+1)$ 进行分母有理化： $\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{1\times (\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}{)}^2-1^2}=\frac{\sqrt{2}+1}{2-1}=\sqrt{2}+1$

将上述化简结果代入原式： $\text{原式}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+(\sqrt{2}+1)$

合并前两项： $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

最后进行整体相加： $\text{原式}=\sqrt{2}+\sqrt{2}+1=2\sqrt{2}+1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：幂的运算性质（零指数、负分数指数）、分母有理化（平方差公式的应用）。
2. 核心方法：分项化简、同类二次根式合并。
3. 避坑指南：

• 极易混淆 $2^0$ 的值，误认为 $2^0=2$ 或 $2^0=0$。牢记任何非零实数的零次幂都等于 1。

• 进行分母有理化时，注意符号的正确应用，通过构造平方差公式 $(\sqrt{a}-b)(\sqrt{a}+b)=a-b^2$ 来消除分母中的根号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于初等代数中数与式运算的标准教材基础题。它是高中数学中指数函数学习的基石，主要为了让学生适应从整数指数幂向有理数指数幂的过渡。
2. 结论推广: 本题可推广至标准的二次根式有理化级数求和模型中的单项： $\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$。 在本题中，当 $n=1$ 时， $\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\sqrt{2}+1$。这种分母有理化的构造思想，在高等数学中处理数列极限、级数敛散性判定（裂项相消法）时具有广泛的应用。

🔗【关联脉络】

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