1977-北京文-09 解-等差与等比中项

本题导读

本题考查等比数列与等差数列中项的综合。核心在于联立两组中项关系求解。

📌【题干】

Question

（1977年北京卷(文)） 在 $2$ 和 $30$ 中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数.

🔍【思路分析】

破题导航

设插入 $x,y$，前三个等比得 $x^2=2y$，后三个等差得 $2y=x+30$，联立。

✅【答案】

Success

$6$ 和 $18$

✍【详细解析】

Abstract

设插入的两个正数依次为 $x,y$，则四数依次为 $2,x,y,30$。前三个成等比：$x^2=2y$；后三个成等差：$2y=x+30$。联立得 $x^2=x+30$，即 $x^2-x-30=0$，$(x-6)(x+5)=0$。因 $x>0$，故 $x=6$，$y=\frac{x+30}{2}=18$。检验：$2,6,18$ 成等比，$6,18,30$ 成等差，故插入的两个正数为 $6$、$18$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差与等比中项

核心方法：等比等差中项

避坑指南：前三个等比、后三个等差联立

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列中项

结论推广：插入 $6,18$

方法推广：等差等比中项联立

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 1989-广东文-31 解-等差数列与等比数列
• 1990-全国文-21 解-等差数列与等比数列综合