1977-内蒙古理-05 解-两船距离最值

本题导读

本题考查余弦定理求距离最值。核心在于用余弦定理表示距离平方再配方。

📌【题干】

Question

（1977年内蒙古卷(理)） 甲、乙两船，甲船在某岛 $B$ 的正南方向 $A$ 处，$AB=10$ 海里，甲船自 $A$ 处以 $4$ 海里/小时的速度向正北方向航行；同时乙船以 $6$ 海里/小时的速度自岛 $B$ 出发，向岛的北 $60^{\circ }$ 西方向驶去，问几分钟后两船相距最近？（精确到 $1$ 分）

🔍【思路分析】

破题导航

设 $x$ 小时后，用余弦定理表示距离平方，配方求最小值。

✅【答案】

Success

约 $21$ 分钟

✍【详细解析】

Abstract

设 $x$ 小时后甲到 $C$、乙到 $D$，则 $BC=10-4x$、$BD=6x$，$\angle DBC=120^{\circ }$。距离平方 $D{C}^2=B{D}^2+B{C}^2-2\cdot BD\cdot BC\cos 120^{\circ }=(6x{)}^2+(10-4x{)}^2-2\cdot 6x(10-4x)(-\frac{1}{2})=28x^2-20x+100=28(x-\frac{5}{14}{)}^2+\frac{675}{7}$。故 $x=\frac{5}{14}$ 小时 $\approx 21$ 分钟时距离最近。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两船距离最值

核心方法：余弦定理最值

避坑指南：距离平方用余弦定理表示，配方求最小

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：最值

结论推广：约 $21$ 分钟

方法推广：余弦定理配方法

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练 (Links)

• 2005-上海卷文-10 填-余弦定理解三角形
• 1979-全国文-05 解-解三角形与余切