1977-上海理-08 解-无理方程组与同解变形

本题导读

本题考查无理方程组的同解变形，以及用判别式结合边界条件确定参数。

📌【题干】

Question

（1977年上海卷(理)） 当 $k$ 为何值时，方程组 $\{\begin{array}{ll}x-\sqrt{y-2}=0& (1)\\ kx-y-2k-10=0& (2)\end{array}$ 有两组相同的解？并求出它的解.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取边界并消元：

• 由方程 (1) 得 $\sqrt{y-2}=x$。由算术平方根非负，得 $x\ge 0$ 且 $y\ge 2$。
• 两边平方得 $y=x^2+2$。

2. 建立一元二次方程：将 $y=x^2+2$ 代入方程 (2)，得 $x^2-kx+2k+12=0$。
3. 用判别式求参数：

• “有两组相同的解”即一元二次方程有重根。
• 令 $\Delta =0$，解出 $k$ 的候选值。

4. 检验边界：由于 $x\ge 0$，把解出的 $k$ 代回求重根 $x$，舍去不满足 $x\ge 0$ 的增根。

✅【答案】

Success

当 $k=12$ 时，方程组有两组相同的解，其解为 $\{\begin{array}{l}x=6\\ y=38\end{array}$

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：同解变形，提取边界条件 由方程 (1) 移项得： $\sqrt{y-2}=x$

由算术平方根的非负性，得： $x\ge 0\text{且}y\ge 2\text{(1)}$

在满足 ① 的前提下，两边平方： $y-2=x^2⟹y=x^2+2\text{(2)}$

• 第二步：代入方程 (2)，建立一元二次方程 将 ② 代入 $kx-y-2k-10=0$： $kx-\left(x^2+2\right)-2k-10=0$ $-x^2+kx-2-2k-10=0⟹x^2-kx+2k+12=0\text{(3)}$

• 第三步：用判别式求参数 $k$ “有两组相同的解”等价于方程 ③ 有重根。 令判别式等于零： $\Delta =(-k{)}^2-4\times 1\times (2k+12)=0$ $k^2-8k-48=0$

十字相乘分解： $(k-12)(k+4)=0$

得： $k_1=12,k_2=-4$

• 第四步：结合 $x\ge 0$ 检验取舍

• 当 $k=12$ 时 代入 ③： $x^2-12x+2\times 12+12=0⟹x^2-12x+36=0$ $(x-6{)}^2=0⟹x=6$ 此时 $x=6$ 满足 $x\ge 0$。 将 $x=6$ 代入 ②： $y=6^2+2=38$。 得解 $\{\begin{array}{l}x=6\\ y=38\end{array}$。

• 当 $k=-4$ 时 代入 ③： $x^2-(-4)x+2\times (-4)+12=0⟹x^2+4x+4=0$ $(x+2{)}^2=0⟹x=-2$ 此时 $x=-2$ 不满足 ① 中的 $x\ge 0$，舍去。

• 补充说明：若方程 ③ 有两个不同实根，一正一负，在定义域 $x\ge 0$ 内也只有一个解；但题目要求”两组相同的解”（即重根），故只需考虑 $\Delta =0$ 的情形。

综上： 当 $k=12$ 时，方程组有两组相同的解，其解为 $\{\begin{array}{l}x=6\\ y=38\end{array}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：无理方程消元化为一元二次方程、判别式求重根、结合非负边界舍去增根。
2. 核心方法：代入消元法、判别式法。
3. 避坑指南：

• 漏检验导致多解：解出 $k=12$ 或 $k=-4$ 后，必须代回检验 $x\ge 0$。$k=-4$ 对应 $x=-2$，不合题意，应舍去。题目中出现二次根式，平方消根号后必须检验边界条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1977 年上海卷(理)第 8 题，考查无理方程组与一元二次方程、判别式的综合应用。

2. 结论推广：方程 (1) 平方后得 $y=x^2+2$（$x\ge 0$），是顶点为 $(0,2)$、开口向上的抛物线的右半支；方程 (2) 可化为 $y+10=k(x-2)$，是过定点 $M(2,-10)$、斜率为 $k$ 的直线。“有两组相同的解”即直线与抛物线右半支相切。由 $\Delta =0$ 得两条切线：$k=12$ 时切点为 $(6,38)$，在右半支上；$k=-4$ 时切点为 $(-2,6)$，在左半支上，应舍去。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

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