1977-上海理-07 解-等腰梯形的几何性质

本题导读

本题考查等腰梯形的几何性质，以及用函数建模求面积最大值。

📌【题干】

Question

（1977年上海卷(理)） 等腰梯形的周长为 60，底角为 $60^{\circ }$，问这梯形各边长为多少时，面积最大？

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设腰长为自变量：

• 设等腰梯形 $ABCD$ 的腰长为 $x$（即 $AB=CD=x$）。
• 由底角 $60^{\circ }$，过 $B,C$ 向下底作垂线，两侧的投影均为 $x\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}x$。

2. 用周长表示上底：

• 下底 $AD=BC+x$。
• 周长 $x+x+BC+(BC+x)=3x+2BC=60$，可解出 $BC$。

3. 建立面积函数：高 $h=x\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}x$，由梯形面积公式建立关于 $x$ 的二次函数。

4. 配方求最值：配方求出面积最大时的腰长，再代回求上底、下底。

✅【答案】

Success

当该等腰梯形的各边长分别为腰长 15、上底 7.5、下底 22.5 时，其面积最大

✍【详细解析】

Abstract

• 第一步：设腰长为 $x$，求高和投影 设等腰梯形 $ABCD$ 的腰长为 $x$（ $AB=CD=x$ ）。 过点 $B$ 作 $BE\perp AD$ 于点 $E$，过点 $C$ 作 $CF\perp AD$ 于点 $F$。

在 $\text{Rt}△ABE$ 中，$\angle A=60^{\circ }$：

• 投影： $AE=x\cdot \cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}x$
• 高： $h=BE=x\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}x$

由对称性，$FD=AE=\frac{1}{2}x$，中间段 $EF=BC$。 因此下底为： $AD=AE+EF+FD=\frac{1}{2}x+BC+\frac{1}{2}x=BC+x$

• 第二步：用周长表示上底、下底 周长为 60： $AB+CD+BC+AD=60$ $x+x+BC+(BC+x)=60$ $3x+2BC=60⟹2BC=60-3x$

解得： $BC=30-\frac{3}{2}x$

下底： $AD=BC+x=\left(30-\frac{3}{2}x\right)+x=30-\frac{1}{2}x$ (注：上底 $BC>0$，即 $30-\frac{3}{2}x>0$，得 $0<x<20$)

• 第三步：建立面积关于 $x$ 的二次函数 $S=\frac{1}{2}(BC+AD)\cdot h$ $S=\frac{1}{2}\left[\left(30-\frac{3}{2}x\right)+\left(30-\frac{1}{2}x\right)\right]\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}x$ $S=\frac{1}{2}(60-2x)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}x=(30-x)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}x$ $S=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(30x-x^2\right)$

• 第四步：配方求最大值 $S=-\frac{\sqrt{3}}{2}\left(x^2-30x\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\left[(x-15{)}^2-225\right]$ $S=-\frac{\sqrt{3}}{2}(x-15{)}^2+\frac{225\sqrt{3}}{2}$

因为二次项系数 $-\frac{\sqrt{3}}{2}<0$，抛物线开口向下。 当 $x-15=0$，即 $x=15\in (0,20)$ 时，$S$ 取最大值。 此时腰长为： $x=15$

• 第五步：求各边长
• 腰长： $AB=CD=15$
• 上底： $BC=30-\frac{3}{2}\times 15=30-22.5=7.5$
• 下底： $AD=30-\frac{1}{2}\times 15=30-7.5=22.5$

所以，当该等腰梯形的各边长分别为腰长 15、上底 7.5、下底 22.5 时，其面积最大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等腰梯形的高与投影、由周长消元、二次函数配方求最值。
2. 核心方法：设元函数建模法、配方法。
3. 避坑指南：

• 设元选择：若设上底或下底为自变量，用底角 $60^{\circ }$ 表示高和腰时会出现分式根号，运算较繁。含特殊角的等腰梯形（或直角梯形），宜设腰长为自变量，表示较整。

• 作答不完整：题目问”各边长为多少”，须写出腰长、上底、下底三个值，只解出 $x$ 会失分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1977 年上海卷(理)第 7 题，考查等腰梯形面积的最大值问题，属于二次函数最值的实际应用。

2. 结论推广：设周长为 $P$、底角为 $\alpha$ 的等腰梯形，腰长为 $x$，则面积 $S=\sin \alpha \left(\frac{P}{2}x-x^2\right)$，当 $x=\frac{P}{4}$ 时面积最大，此时上底为 $\frac{P}{4}(1-\cos \alpha )$，下底为 $\frac{P}{4}(1+\cos \alpha )$。本题 $P=60,\alpha =60^{\circ }$，得 $x=15$，上底 $7.5$，下底 $22.5$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

类题演练 (Links)