1977-上海理-04 解-正六棱锥的几何性质

本题导读

本题考查正六棱锥的二视图、侧面积以及侧棱与底面夹角的计算。

📌【题干】

Question

（1977年上海卷(理)） 正六棱锥 $V-ABCDEF$ 的高为 $2\text{ cm}$, 底面边长为 $2\text{ cm}$. (1) 按 $1:1$ 画出它的二视图； (2) 求其侧面积； (3) 求它的侧棱和底面的夹角.

🔍【思路分析】

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1. 正六边形底面特征：

• 底面为正六边形，中心为 $O$，由六个全等的正三角形拼成，中心到各顶点的距离（底面外接圆半径） $OA=OB=\cdots =a=2\text{ cm}$。
• 中心到各边中点的距离（底面内切圆半径/边心距） $r=a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\text{ cm}$。

2. 二视图（第1问）：

• 俯视图：正六边形及中心向六个顶点的连线。
• 主视图：底边长为 $2a=4\text{ cm}$、高为 $h=2\text{ cm}$ 的等腰三角形。
• 左视图：底边长为 $2r=2\sqrt{3}\text{ cm}$、高为 $h=2\text{ cm}$ 的等腰三角形。

3. 斜高与侧面积（第2问）：侧面积由 6 个全等的等腰三角形组成。先在由锥高、边心距、斜高构成的直角三角形中求斜高 $h^{\prime }$，再由 $S_{\text{侧}}=6\times \left(\frac{1}{2}\cdot a\cdot h^{\prime }\right)$ 求侧面积。
4. 线面角（第3问）：侧棱与底面的夹角即侧棱与其在底面的射影（中心到顶点的连线 $OA$）的夹角 $\angle VAO$，在直角三角形 $△VAO$ 中求解。

✅【答案】

Success

它的侧棱和底面的夹角为 $45^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 按 1 : 1 画出它的二视图

设正六棱锥顶点为 $V$，底面中心为 $O$：

• 主视图：一个等腰三角形。其底边长等于底面正六边形的最大对角线长 $2\times 2=4\text{ cm}$，高为锥高 $2\text{ cm}$。
• 左视图：一个等腰三角形。其底边长等于底面正六边形的对边距离 $2\times \sqrt{3}=2\sqrt{3}\text{ cm}\approx 3.46\text{ cm}$，高为锥高 $2\text{ cm}$。
• 俯视图：一个正六边形，边长为 $2\text{ cm}$，内部含中心向六个顶点的连线。

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(2) 求其侧面积

• 第一步：计算底面正六边形的边心距（内切圆半径） 设底面正六边形中心为 $O$，取底边 $AB$ 的中点为 $G$。连结 $OG$，则 $OG\perp AB$。 由于底面由 6 个边长为 $2\text{ cm}$ 的正三角形组成： $OG=2\times \sin 60^{\circ }=2\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\text{ cm}$
• 第二步：在直角三角形 $△VOG$ 中计算斜高 $VG$ 因为 锥高 $VO\perp \text{底面}⟹VO\perp OG$，所以 $△VOG$ 是以 $VO=2,OG=\sqrt{3}$ 为直角边的直角三角形。 根据勾股定理，斜高 $VG$（侧面等腰三角形的高）为： $VG=\sqrt{V{O}^2+O{G}^2}=\sqrt{2^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{4+3}=\sqrt{7}\text{ cm}$
• 第三步：求 6 个侧面三角形的面积总和 每个侧面三角形的底边长 $a=2\text{ cm}$，高为斜高 $VG=\sqrt{7}\text{ cm}$。 $S_{\text{侧}}=6\times S_{△VAB}=6\times \left(\frac{1}{2}\times AB\times VG\right)=6\times \left(\frac{1}{2}\times 2\times \sqrt{7}\right)=6\sqrt{7}{\text{ cm}}^2$ 所以，其侧面积为 $6\sqrt{7}{\text{ cm}}^2$.

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(3) 求它的侧棱和底面的夹角

• 第一步：确定线面角 连结顶点 $V$ 与底面顶点 $A$。因为 $VO\perp \text{底面}$，所以侧棱 $VA$ 在底面上的射影为线段 $OA$。 根据线面角定义，侧棱 $VA$ 与底面所成的角即为 $△VAO$ 中的内角： $\alpha =\angle VAO$
• 第二步：求 $\tan \alpha$ 底面正六边形中心到顶点的距离等于其边长： $OA=2\text{ cm}$ 在 $\text{Rt}△VAO$ 中，对边 $VO=2\text{ cm}$，邻边 $OA=2\text{ cm}$。 由正切定义： $\tan \alpha =\frac{VO}{OA}=\frac{2}{2}=1$
• 第三步：求 $\alpha$ $\alpha$ 是锐角且 $\tan \alpha =1$，所以： $\alpha =45^{\circ }$ 所以，它的侧棱和底面的夹角为 $45^{\circ }$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正六边形的边心距与外接圆半径，斜高与锥高、边心距的关系，线面角。
2. 核心方法：空间直角三角形法。
3. 避坑指南：

• 斜高与侧棱混淆：求侧面积时要用斜高（侧面三角形的高），不能用侧棱长 $VA=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。
• 二视图投影尺寸：左视图底边是正六边形对边距离 $2\sqrt{3}$，不是边长 $2$ 或对角线长 $4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题为 1977 年上海卷(理)第 4 题，考查正六棱锥的二视图、侧面积和线面角。
2. 结论推广：正 $n$ 棱锥底面边长为 $a$、高为 $h$ 时，边心距 $r=\frac{a}{2\tan \frac{\pi }{n}}$，外接圆半径 $R=\frac{a}{2\sin \frac{\pi }{n}}$，斜高 $h^{\prime }=\sqrt{h^2+r^2}$，侧面积 $S_{\text{侧}}=\frac{na}{2}{h}^{\prime }$，线面角 $\alpha$ 满足 $\tan \alpha =\frac{h}{R}=\frac{2h\sin \frac{\pi }{n}}{a}$。本题取 $n=6,a=2,h=2$，得 $S_{\text{侧}}=6\sqrt{7}$，$\tan \alpha =1$，即 $\alpha =45^{\circ }$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

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