本题导读
本题考查分式的通分与约分。
📌【题干】
Question
（1977年上海卷(理)） (1) 化简：.
(2) 计算：.
(3) , 验算 是否方程 的解.
(4) 求证：.
🔍【思路分析】
破题导航
- 分母因式分解：观察算式中的各个分母， 可化为完全平方式 ； 可化为平方差形式 。
- 括号内分别通分：
- 左边括号内分母的最小公倍式为 ，通分后分子合并同类项。
- 右边括号内分母的最小公倍式为 ，通分后分子合并同类项。
除法转化为乘法约分：将除法运算转化为乘上右边分式的倒数，对分子、分母进行全局公因式正交对冲约分，输出最简分式结果。
分块隔离突破：算式整体可分为前三项的“常用对数和差块”与最后一项的“异底对数相乘块”。
化简常用对数部分：
- ：将 移回真数指数位置，化为 。
- 此时前两项结合为 。
- ：将根式化为分数指数幂 ，利用性质可直接脱去对数号。
化简对数乘积部分：对于 ，将 变形为 ，提取指数 得到 。利用倒数性质 直接消去对数项。
数理对冲合拢：将各块化简出的常数值进行标准加减，输出最终结果。
调用虚数单位基本不变量：根据复数基本定义， 。
推导高阶循环幂算子：
代入化简判定：将 整体代入方程左侧的多项式中，利用推导出的 的各阶幂值进行替换，合并同类项（实部与虚部分别加减）。若最终代数和严格等于 ，则为方程的解；反之则不是。
观察结构选择左推右：左端为两个分式相加，右端为一个单项分式。优先对左端执行标准的通分运算。
通分化简分子与分母：
- 通分后的分子形貌为：。这属于标准的正弦两角和公式 。
- 通分后的分母形貌为：。这满足正弦二倍角公式的特征，可凑配为 。
结合诱导公式合拢输出：对分子、分母的展开项分别代入特殊角计算，应用诱导公式进行名变换（正弦化余弦），直接输出右端项结构。
✅【答案】
Success
原恒等式得证
✍【详细解析】
Abstract
第一步：对各分母进行因式分解 原式可改写为：
第二步：对前后两部分括号内部独立通分化简
化简左边括号内式子：最小公分母为
化简右边括号内式子：最小公分母为
第三步：将除法转化为乘法，进行全局约分合拢 将前后两部分的化简结果代回原式中，并将除以一个分式转化为乘以该分式的倒数：
观察分子与分母，公因式 以及一个 因子可以在空间上完全对冲消去：
所以，最终化简的结果为：
为了保证运算的严密性，将原式分为两大部分独立化简：
第一步：化简前三项的常用对数部分
处理第一项：利用对数的性质
合并前两项：利用同底数对数相加，真数相乘的性质
处理第三项：将小数和根式化为以 10 为底的指数幂
前三项合拢结果为：
第二步：化简最后一项的对数乘积部分 利用真数幂次前置公式 ，将真数 9 化为 ：
根据换底公式的推论（对数倒数性质 ）：
- 第三步：代回原式进行有理数加减对冲
所以，最终计算结果为：
第一步：推导虚数单位 在方程中各阶幂次的精确值 根据虚数单位的几何特征与代数定义满足：
第二步：将 代入目标方程左端的代数式中 设多项式 。将 灌入算子中：
第三步：将各幂次项代换并进行实部、虚部的合拢化简 将第一步中求得的 分别代入多项式：
归类合并同类项：
- 实部汇聚：
- 虚部汇聚：
由此对冲得到：
因为代入后等式左端的值严格等于右端项的 （即方程完全成立）。
所以， 是方程 的解.
证明：
第一步：对等式左端分式进行通分 左边
第二步：应用正弦两角和公式化简分子 令 。分子结构完全契合 ：
因为特殊角正弦值满足 ，所以分子项退化为常数：
- 第三步：应用二倍角公式化简分母 根据正弦二倍角公式 ，对分母进行提取：
利用三角函数诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）进行等价化简：
从而分母因式化为：
- 第四步：将分子、分母代回总式，完成合拢
因为左端经过严密的三角恒等变形完全等于右端。
所以，原恒等式得证。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：分母的公式法因式分解、分式除法算子逆转法则、符号对冲变换。
- 核心方法：先通分后约分法。
- 避坑指南：
高频正负号混乱雷区：在化简右边括号时，分子为 ，带有负号。在进行最后的乘法约分时，切记不要漏掉这个负号，导致错算出 。
分式结果规范性：最终结果 或 皆为正确最简形态，按数学书写惯例，应尽量减少负号的前置暴露，推荐写作 。
- 核心考点：常用对数基底不变量（）、对数倒数乘积公式、指数与根式的有理化互化。
- 核心方法：分块隔离化简法、凑配法。
- 避坑指南：
高频减号遗漏雷区：第三项前面带有减号，而 算出的值本身也是负数（），在代回总式时极易因粗心漏掉负负得正的转换，错算成 。
换底公式运算错位：在处理 时，部分同学会盲目化为 ，容易在多项分式中把系数 2 漏掉。牢记真数有高次幂时先提指数，能大幅精简后续的相乘消元步骤。
- 核心考点：虚数单位 的 4 阶周期循环律、复数多项式的实虚部分解算法。
- 核心方法：直接代入验算法。
- 避坑指南：
高频幂次变号雷区：在替换 和 时，极易因粗心引发符号混乱。如误将 写作 （漏掉负号），或将 错算为 （忘记了 带来的负负得正）。牢记： 的偶数次幂转化为实数，奇数次幂保留虚数单位，每一步的负号都要单独用括号隔离保护。
结论表述规范：本题属于“验算”类解答题，最后必须有明确的肯定或否定断言，即规范手写出“所以， 是该方程的解”这一闭环结论。
- 核心考点：两角和的正弦公式、正弦二倍角积化和差变形、诱导公式的相位退化。
- 核心方法：通分法、公式综合法。
- 避坑指南：
高频繁琐变形雷区（盲目拆开）：高达 的同学一拿到题目，看到 ，就盲目通过两角和差展开式拆成 。这样会导致分子、分母充满大量的根式与长项，运算量瞬间翻倍，在考场上极易因杂乱而出错。牢记：三角变换的核心铁律是“先整体观察，能通分合并的绝对不要提早拆开”。
分母二倍角漏掉系数：在使用 时，很多同学容易漏掉前方的系数 ，导致最后算出的结果是 。
📖【试题探源与推广】
Tip
试题探源: 本题源于初中代数（八年级下册《分式》章节）中关于分式混合运算的标准课后主干母题，用于考查学生在复杂多项式符号变换下的代数逻辑严密性。
结论推广: 本题模型属于标准的齐次完全平方-平方差比例消元模型。 可以一般化推广为：对于任意满足形式为 的分式架构，不论变量 的有理数数值如何变迁（在分母不为 0 的定义域约束内），两端的通分项具有强烈的高度对偶守恒特征。其化简结果恒无条件收敛退化为固定的一阶齐次线性分式： 牢固掌握这种由于公式对称带来的公因式对冲本质，能让学生在后续面对高中、竞赛级复数有理化分式精简、高等数学中代数分式有理函数不定积分的裂项拆解时，实现瞬时看穿本质底牌。
试题探源: 本题源于高中数学必修第一册《对数与对数函数》章节中关于对数性质综合化简的典型教材课后习题。
结论推广: 本题模型属于标准的齐次常用对数-链式换底对冲模型。 可以一般化推广为：对于任意形式为 的对数混合算子，只要满足真数内部的乘积平衡（如 ），其超越项必发生无条件退化。其代数通项结构恒满足如下常数控制方程： 在本题中，对应参数为 。直接套用此推广不变量模型可实现瞬时：。熟练掌握这一因式对冲本质，在面对高频的高考、竞赛超越代数式化简时，能做到无视复杂的算子结构，一秒直达本质底牌。
试题探源: 本题源于高中数学选择性必修第三册《复数》章节中关于复数概念及代数运算的课后基础母题，旨在测试考生的基础运算精确度。
结论推广: 本题模型属于标准的实系数多项式复数根对偶共轭不变量模型。 可以一般化推广为：根据代数基本定理的推论（实系数方程虚根成对原理），若一个高阶实系数多项式方程 接受虚数 为其精确解，则其共轭复数 必定无条件也是该方程的合法实数根。 在本题中，既然已论证 是实系数四次方程的解，我们可以无需任何中间多项式推演，瞬时断定其共轭复数： 亦必然是该方程的另一个合法复数解。利用这两个根可以反向重构出方程的一个二次实因式 。通过多项式除法（综合除法），原四次方程可瞬间退化为 ，进而完美提取出其余两个实数根 。熟知这一共轭守恒本质，能让学生在后续面对高考、竞赛级复数轨迹方程、高等数学中线性微分方程特征根的求解时，实现降维打击。
试题探源: 本题源于高中数学必修第一册《三角恒等变换》章节中关于两角和与差的三角公式综合应用的教材典型课后证明题。
结论推广: 本题模型属于标准的余角共轭正交三角消元模型。 可以一般化推广为：由于 恒守恒，这两个角在代数几何上互为余角。根据诱导公式满足 ，且 。 若我们将这两个共轭置换关系直接代回左端项，原式可无条件直接坍缩为： 利用标准切弦互化公式 。由于 ，带入即得 。熟知这一余角共轭本质，能让学生在后续面对高频的高考、竞赛级复杂三角超越方程求解、傅里叶级数正交基分解时，实现破局。
🔗【关联脉络】
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