1977-上海文-05 解-六角螺帽体积

本题导读

本题考查组合体体积。核心在于正六边形割成六个正三角形求底面积，减去圆孔面积后乘高。

📌【题干】

Question

（1977年上海卷(文)） 六角螺帽尺寸如图，求它的体积（精确到 $1$ mm${}^3$）.

🔍【思路分析】

破题导航

底面 $=$ 正六边形面积 $-$ 圆孔面积：$6\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times 20^2-100\pi$，再乘高 $10$。

✅【答案】

Success

$V\approx 7251$ mm${}^3$

✍【详细解析】

Abstract

由图知，正六边形的边长为 $20$ mm，圆孔的直径为 $20$ mm，螺帽的高为 $10$ mm。正六边形可分成六个边长为 $20$ mm 的正三角形，所以其底面积为 $S_1=6\times \frac{\sqrt{3}}{4}\times 20^2=600\sqrt{3}$ mm${}^2$。圆孔半径为 $10$ mm，其面积为 $S_2=\pi \times 10^2=100\pi$ mm${}^2$。因此螺帽的体积为 $V=(S_1-S_2)\times 10=(600\sqrt{3}-100\pi )\times 10=(6\sqrt{3}-\pi )\times 10^3$ mm${}^3$。取 $\sqrt{3}\approx 1.7320508$，$\pi \approx 3.1415926$，得 $V\approx 7250.7$ mm${}^3$，所以精确到 $1$ mm${}^3$ 为 $7251$ mm${}^3$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：六角螺帽体积

核心方法：割补法算体积

避坑指南：正六边形割成六个正三角形，减圆孔底面积再乘高

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：体积

结论推广：$V\approx 7251$ mm${}^3$

方法推广：底面积差×高

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1987-上海-05 填-组合体的体积
• 1985-上海文-10 填-旋转体的体积