1977-上海文-04 解-三角计算与正弦定理

本题导读

本题考查诱导公式求值、倍角恒等式与正弦定理。核心在于负角与终边角先化到锐角，第三内角 $60^{\circ }$ 撑起正弦定理。

📌【题干】

Question

（1977年上海卷(文)） (1)计算：$\frac{\sin 225^{\circ }+\tan 330^{\circ }}{\cos (-120^{\circ })}$.

(2)求证：$\tan x+\cot x=\frac{2}{\sin 2x}$.

(3)$△ABC$ 中，$\angle A=45^{\circ }$，$\angle B=75^{\circ }$，$AB=12$，求 $BC$ 的长.

🔍【思路分析】

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(1)$\sin 225^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan 330^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\cos (-120^{\circ })=-\frac{1}{2}$；(2)切割化弦通分，用 $\sin 2x=2\sin x\cos x$；(3)$\angle C=60^{\circ }$，正弦定理求 $BC$。

✅【答案】

Success

(1)$\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{3}$(2)证明见解析(3)$BC=4\sqrt{6}$

✍【详细解析】

Abstract

(1)$\sin 225^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\tan 330^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，且 $\cos (-120^{\circ })=\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$。因此原式 $=\frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}}{-\frac{1}{2}}=\sqrt{2}+\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{3}$。 (2)在 $\sin x\ne 0$ 且 $\cos x\ne 0$ 时，$\tan x+\cot x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}=\frac{2}{2\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin 2x}$，故等式成立。 (3)第三个内角 $\angle C=180^{\circ }-45^{\circ }-75^{\circ }=60^{\circ }$。由正弦定理 $\frac{BC}{\sin 45^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 60^{\circ }}$，所以 $BC=12\times \frac{\sin 45^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}=12\times \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4\sqrt{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角计算与正弦定理

核心方法：诱导公式与正弦定理

避坑指南：负角、终边角化锐角；第三内角 $60^{\circ }$ 撑起正弦定理

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角综合

结论推广：(1)$\frac{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{3}$；(3)$BC=4\sqrt{6}$

方法推广：先求第三角再用正弦定理

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 1998-全国卷文-01 单-诱导公式求特殊角的三角函数值
• 1987-全国文-16 解-两角和与差的三角函数